Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.8. Поперечные колебания стержня под воздействием подвижного груза и пульсирующей силы

Составим с помощью энергетического метода амплитудно-фазовые уравнения первого приближения для нестационарного процесса — поперечных колебаний стрежней, находящегося под воздействием медленно передвигающегося груза и пульсирующей силы.

Обозначим через величину площади поперечного сечения и предположим, что размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня Предположим также, что по стержню движется некоторая малая (по сравнению с массой балки масса Кроме того, пусть стержепь находится под воздействием вертикальной периодической по силы точка приложения которой в любой момент времени совпадает с центром массы (рис. 14). Введем обозначения: плотность и модуль Юнга материала; момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба. При рассмотрении поперечных колебаний стержня, происходящих в вертикальной плоскости пренебрегаем инерцией вращения поперечных сечений и неререзывающими силами.

Рис. 14. Стержепь, находящийся под воздействием подвижного груза и пульсирующей силы

Выражения для кинетической и потенциальной энергий исследуемой системы (стержня и груза) при этих допущениях имеют вид

Уравнение собственных колебаний стрежня, кинетическая и потенциальная энергии которого определяются выражениями

является уравнением невозмущенного движения. Оно легко выводится с помощью вариационного принципа Остроградского — Гамильтона [141]

и имеет вид

Краевые условия для свободно опирающихся или шарнирно закрепленных концов стержня записываются следующим образом:

Будем искать решение уравнения (159) с помощью метода Фурье. Уравнение для собственных функций, определяющих формы нормальных (или главных) колебаний, имеет вид

а — частота главного колебания.

Записав общее решение уравнепия (161) с помощью формулы

с учетом краевых условий (160), которые после применения метода Фурье записываются в виде

получаем частотное уравнение корни которого выражаются формулой Отсюда мы определяем формы нормальных (главных) колебаний невозмущенного движения

и их собственные частоты

необходимые для построения асимптотических решений возмущенного движения при помощи энергетического метода.

Переходим к построению решения в первом приближении с учетом возмущающих сил, действующих на стержень. Для определенности предположим, что

мгновенная частота возмущающей силы. При этом допустим, что на исследуемом отрезке времени частота вертикальной силы принимает значение, равное т. е. колебательная система проходит через главный резонанс. Это наиболее иптереспый случай.

С учетом «возмущающей» потенциальной энергии

где текущая координата точки приложения возмущающей силы, скорость движения груза и пульсирующей силы вдоль стержпя, и «возмущающей» кинетической энергии

суммарную возмущающую силу (без учета сил внутреннего трения) можно представить как сумму приложенной извне пульсирующей силы и силы инерции, т. е.

Как видно из выражения (162), за обобщенную координату следует принять прогиб балки и. Согласно выражению (2.143), первое приближение решения, соответствующего одпочастотпым колебаниям, близким к первому нормальному колебанию, для случая главного резонанса имеет вид

где определяются из системы дифференциальных уравнений первого приближения вида (158).

Перейдем теперь к выводу уравнений (158), пользуясь энергетическим методом. Найдем выражение для возмущающей силы в режиме синусоидальных колебаний

где В результате получим

Далее составим выражение для виртуальной работы, соответствующей вариациям амплитуды и фазы первого нормального

колебания:

После этого найдем среднюю виртуальную работу и ее «частные производные», ненулевые выражения которых имеют вид

а также величину

Подставляя выражения (164) и (165) в уравнения (158), получаем амплитудно-фазовые уравнения первого приближения

где

На этом можно было бы закончить изложение энергетического метода применительно к задаче о поперечных колебаниях стержня под воздействием подвижного груза и пульсирующей силы, однако во многих работах встречается комплексная форма записи амплитудно-фазовых уравнений вида (166), поэтому целесообразно привести. Для этого введем комплекспозначную функцию с помощью которой система уравнений (166) приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка

где

Интегрируя уравнение (167) при условии получаем

Отделяя теперь действительную и мнимую части в последнем выражении с учетом замены находим амплитуду колебаний

Приближенное решение (163) в частном случае стационарного режима колебаний (когда естественно, совпадает с известным точным решением.

В заключение рассмотрим конкретный числовой пример, иллюстрирующий в некоторой степени энергетический метод.

Рис. 13. Изображение нестационарных колебаний при прохождении стержпя через главный резонанс

Пример [136]. Определим амплитуды нестационарных колебаний при прохождении стержня (рис. 15) через главный резонанс. При помощи выражения (169) не представляет затруднений построить зависимость амплитуды основного тона колебаний от времени при нестационарном режиме. Эта зависимость при числовых значениях следующих параметров:

в предположении, что в пачалышй момент возмущающая сила и масса находятся на левой опоре, приведепа на рис. 15.

Нестационарность колебательного процесса в рассмотренной задаче проявляется в смещении максимума резонансной кривой амплитуды (на 13,5% величины собственной частоты в сторону больших частот возмущающей силы и в ограниченности амплитуды в резонансной зоне даже при отсутствии сил внешнего и внутреннего сопротивлений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление