Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.7. Энергетический метод построения амплитудно-фазовых уравнений

В гл. II мы многократно выводили дифференциальные уравнения для амплитуды а и фазы (амплитудно-фазовые уравнения) колебательпых систем при использовании метода усреднепия. Здесь изложим другой алгоритм построения амплитудно-фазовых уравпений первого приближения (вида (2.144)), не требующий предварительного написания возмущенных уравнений вида (2.133). Этот алгоритм основан на применении так называемого энергетического метода [147], хорошо известного в уравнениях математической физики. Для построения уравнений первого приближения достаточно знать некоторое выражение для работы возмущающих сил, а не сами силы, входящие в уравнения Лагранжа второго рода (2.128) или ряде случаев это существенно упрощает задачу. Чтобы не загромождать суть дела большим количеством громоздких формул и выкладок, вернемся к задаче (см. § 2.9) о построении приближенных решений системы (2.133), близких к одночастотным колебаниям с медленно изменяющейся частотой

С этой целью рассмотрим выражение для виртуальной работы которую совершают возмущающие силы

в режиме синусоидальных колебаний

на виртуальных перемещениях [136, 147]

соответствующих вариациям амплитуды и фазы первого нормального колебания с частотой

По определению [136] виртуальная работа равна скалярному произведению вектора сил действующих на механическую систему, и вектора виртуальных перемещений:

Применительно к силам выраженным с номощыо равенств (2.147), и к виртуальным перемещениям (151) получим

Символ 8 означает, что дифференциальная форма виртуальной работы но является в общем случае дифференциалом. Обозначим через величину средней виртуальной работы за полный цикл колебания на периоде

Построив двойное фурье-разложение для и затем интегрируя выражение по полной фазе с учетом (153) и (154), получим

Индексы суммирования связаны с индексами пит разложения в двойной ряд Фурье соотношениями

Для коэффициентов при вариациях в выражении (155) введем символические обозначения Тогда систему уравнений (2.145) можно представить в виде

Следовательно, для составления системы уравнений в частных производных, определяющих нужно найти величину средней виртуальной работы, которую совершили бы за цикл колебания возмущающие силы в синусоидальном режиме на виртуальных перемещениях, соответствующих вариациям их амплитуды а и фазы После этого «частные производные» найденной средпей виртуальной работы подставляются в уравнения (156).

Теперь легко дать энергетическую интерпретацию непосредственно амплитудно-фазовым уравнениям первого приближения (2-144) с учетом найденных в § 2.9 выражений (2.150) и (2.151) для Для этого запишем среднюю виртуальную работу в виде

где величина средней виртуальной работы, которую совершила бы за цикл колебания возмущающая сила в синусоидальном режиме член ее разложения в ряд Фурье) на виртуальных перемещениях, соответствующих вариациям амплитуды а и фазы колебания

С использованием (15.7) систему амплитудно-фазовых уравнений первого приближения (2.144) можно написать в виде

Таким образом, можно сформулировать следующее правило: для составления амплитудно-фазовых уравнений первого приближения (158) необходимо найти величину средпей виртуальной работы, которую совершили бы возмущающие силы за полный цикл колебания в синусоидальном режиме на виртуальных перемещениях, соответствующих вариациям амплитуды и фазы, разложить найденное выражение в ряд Фурье, после чего «частные ироизводпые» члена подставить в уравнения (158).

Приведенное правило построения уравнений первого приближения значительно упрощается, если исследуемая колебательная система находится под воздействиям только потенциальных

возмущающих сил [136], так как в этом случае

где V — часть потенциальной энергии, возникающая в результате наличия возмущения; можно ее назвать «возмущенной» потенциальной энергией.

В этом случае для составления системы уравнений в частных производных, определяющей нужно найти вариацию возмущений, соответствующую вариациям амплитуды и фазы колебания, - вычислить ее среднее значение (за цикл колебания) и подставить «частные производные» с обратным знаком в уравнения системы (156) вместо Для составления амплитудпо-фазовых уравнений первого приближения, кроме указанных операций, надо разложить «частные производные» в ряды Фурье и члены этих рядов с обратными знаками подставить в уравнения (158) вместо

Итак, энергетический метод позволяет построить приближенные решения без предварительного составления точных дифференциальных уравнений задачи. Для составления амплитудно-фазовых уравнений первого (второго) приближения используются непосредственно выражения для работы (или потенциальной энергии) и кинетической энергии. Последнее обстоятельство дает возможность раснрострапить энергетический метод и на решение задач теории колебаний систем с распределенными параметрами [105], описываемых уравнениями в частных производных. Оказывается возможным [136] использовать для составления уравнений первого приближения (при исследовании одиочастотных режимов колебаний) те же выражения работы энергии, что и для систем с конечным числом степеней свободы. Как мы увидели, в энергетическом методе усреднение производится в колебательных уравнениях, а в выражении для виртуальной работы, являющейся интегральной (суммарной) энергетической характеристикой возмущающих сил. Усредненная виртуальпая работа (или энергия) используется затем для непосредственного построения амплитудно-фазовых уравнений первого (второго) приближения. Поэтому можпо интерпретировать энергетический метод как некоторую модификацию метода усреднения, простота и эффективность которого очевидна при построении решений в первом приближении для уравнений в частных производных, описывающих нестационрные режимы колебаний систем с распределенными параметрами.

Энергетическим методом решен ряд задач теории колебаний, представляющих самостоятельный интерес. Среди них такие задачи [84]: изгибные колебания стержня под воздействием продольной пульсирующей силы, поперечные колебания стержня

под воздействием подвижного груза и пульсирующей силы, изгибные колебания стержня двоякой жесткости в переходном режиме вращения, нестационарные режимы колебаний турбинной лопатки с учетом рассеяиия энергии в материале, изгибно-крутильные колебания стержней при наличии внутреннего третшя и другие.

Рассмотрим одну из таких задач.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление