Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.2. Сущность метода усреднения

При построении уравнений сравнения (2) мы всегда должны иметь в виду по крайней мере два обстоятельства:

1) Уравнения сравнения должны, быть более «решабельными, нежели первоначальные уравнения, иначе процедура замены одних уравнении другими теряет смысл.

2) Следует иметь в распоряжении методы, оценивающие отклонения решений уравнений сравнения от первоначальных решений. Желательно, чтобы эти отклонения были достаточно малыми, и это обстоятельство оказывается непосредственно связанным с изучением свойств вектор-функции преобразования т. е. свойств решения уравнения Крылова — Боголюбова (4).

Чтобы пояснить эти обстоятельства, рассмотрим два предельных и некотором смысле варианта.

Первый вариант — тождественное преобразование. Пусть уравнении сравнения (2) в точности совпадают с первоначальными уравнениями, т. е. Тогда уравнение (4)

принимает вид

и оно, как легко проверить, допускает решение т. е. старые и новые переменные совпадают, Таким образом, в случае равенства функций мы легко находим одно из частных решений уравнения Крылова — Боголюбова, но от этого решения мало пользы, так как не получено никакой новой информации о свойствах решений исходных уравпений.

Второй вариант — это преобразование, приводящее к простейшим уравнениям сравнения. Самым простым уравнением сравнения можно считать уравнение

(а — постоянный вектор), имеющее очевидное решепие

Изучим теперь уравнение Крылова — Боголюбова для этого случая. Оно запишется в виде

Система в характеристиках [18, 19] для (9) имеет вид

Отсюда следует, что определение замепы переменных, преобразующей первоначальное уравнение (1) в простейшее уравнение (8), предполагает знание решения первоначальной системы. Следовательно, нахождение решения уравнения Крылова — Боголюбова в этом случае эквивалентно нахождению решения исходной системы (1), поэтому решение задачи о преобразовании уравнений не стало более легким.

Рассмотренные здесь предельпые варианты позволяют сделать следующие выводы.

С одной стороны, уравнение Крылова — Боголюбова (7) при тождественном преобразовании правых частей имеет очевидное решение, но зато уравнения сравпения совпадают с нервоначальными, и, следовательно, проблема интегрируемости уравнений сравнения равносильна проблеме интегрируемости первопачальных уравнений. С другой стороны, если в качестве уравпений сравнения выбираются простейшие, то репгепие уравнений, определяющих замену переменных, эквивалентно интегрированию первоначальпых уравнений.

Эти соображения наталкивают на мысль о пахождеиии промежуточного, компромиссного варианта, сущность которого должна состоять в следующем.

1) Функцию сравнения следует выбрать таким образом, чтобы она имела более простую аналитическую структуру по сравнению с первопачальпой функцией но вместе с тем ей должны быть присущи основные свойства последней. Только при таком выборе можпо ожидать некоего сходства в поведении решений уравнения сравнения и решений первоначального уравнения.

2) Выбор функции сравнения должен осуществляться таким образом, чтобы квазилинейные уравнения в частных производных для замены переменных (уравнения Крылова — Боголюбова) допускали если не нахождение точного решения, то хоти бы проведение какого-либо качественного анализа.

В первую очередь нас будут интересовать такие свойства функции как ограниченность и степень гладкости в Некоторой области изменения аргументов.

Забегая вперед, представим себе, что нам удалось, с одной стороны, построить приближенное решение уравпения сравнения (2), а с другой — оценить норму на некотором промежутке времени Тогда, очевидно, можно сделать и некоторые выводы о поведении решения первоначальной системы (1) на этом промежутке времени.

Такой компромиссный вариапт, как мы увидим дальше, часто И конкретных задачах может быть реализован и дает неплохие для приложений результаты. Можно сказать, что этот подход и пыражает собой сущность прикладного аспекта преобразования Крылова-Боголюбова для систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление