Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.6. Приведение квазилинейных уравнений в частных производных к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Основные результаты по применению метода усреднения к уравнениям математической физики получены математиками Киевской школы, в первую очередь 10. А. Митропольским и Б. И. Мосеенковым. Ими же написана большая и единственная в своем роде монография [136], посвященная этим вопросам. Материал, включенный в этот параграф, заимствован в основном из этой монографии и имеет чисто прикладной характер. Читателя, интересующегося математическими проблемами обоснования метода усреднения в уравнениях математической физики, отсылаем к статьям [137, 138] и уже цитированной монографии [136].

Рассмотрим метод Фурье [139] применительно к нелинейным уравнениям в частных производных гиперболического типа, близким к линейным. Он в сочетании с методом усреднения позволяет во многих случаях исследовать колебательные процессы в системах с распределенными параметрами.

Сущность такого подхода состоит в том, что одно уравнепие в частных производных заменяется бесконечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а к последней возможно применение (по крайней мере формальное) метода сглаживания, изложенного в предыдущих параграфах. Существуют различные методы приведения одного или нескольких уравнений с распределенными параметрами к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы здесь в основном будем пользоваться хорошо известным методом Бубнова — Галеркина [140].

Следует заметить, что метод усреднения эффективнее в тех случаях, когда, пользуясь методом Фурье, можно в соответствующих уравнениях в частных. производных разделить переменные, после чего полученные счетные системы обыкновенных дифференциальных уравнений приводятся к стандартной по Н. Н. Боголюбову форме [29].

Изложение единой методики, примененной к самому общему виду нелинейного уравнения в частных производных гиперболического типа, близкого к линейпому, вызывает ряд существенных трудностей и громоздкие выкладки, поэтому проиллюстрируем ее на некоторых коикретпых уравнениях в частных производных.

Рассмотрим нелинейное уравпение гиперболического типа с постоянными коэффициентами, близкое к линейному:

где малый параметр, нелинейная относительно своих аргументов функция, а постоянные коэффициенты удовлетворяют условию гиперболичности [139]

С помощью хорошо известных замен зависимых и независимых переменных уравнение (115) может быть преобразовано к простейшему каноническому виду (для новых переменных сохранены те же обозначения и приведенному во многих учебниках по математической физике [139, 140]:

Предположим, что требуется найти решения этого уравнепия при следующих краевых и начальных условиях:

где достаточно гладкие функции, удовлетворяющие необходимым условиям существования решений.

Прежде чем переходить к дальнейшему преобразованию уравнения (117), рассмотрим невозмущенное уравнение, получаемое из уравнения (117) при

при тех же краевых и начальных условиях. Оно представляет аналог порождающего уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. §§ 1.7-1.9).

Предполагая, что для с помощью метода Фурье находим решение уравнепия (120) в виде

где частоты нормальных колебаний, постоянные, определяемые начальными условиями (119).

Исходя из вида решения (121) невозмущенного уравнения. (120) и предполагая, что при достаточно малом формы нормальных колебаний при наличии возмущений с достаточной точностью определяются теми же функциями будем искать решение возмущенного уравнения (117) в виде ряда

где - функции, подлежащие определению. Вид (122) решения типичен для хорошо известного метода Бубнова — Галеркипа [141]. Подставляя (122) в уравнение (117) и в печальные условия (119), умножая затем на и интегрируя по в пределах от до для определения получим бесконечную счетную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

с начальными условиями

где и коэффициенты Фурье функций соответственно.

Приведем теперь систему уравнений (123) к стандартной форме в смысле Боголюбова. Для этого введем вместо новые медленно меняющиеся комплексно-сопряженные переменные помощью формул [29]

После некоторых преобразований можно получить систему

Так как то можно показать, что Разрешая систему (127) относительно окончательно получаем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в стандартной форме, эквивалентную системе (123):

где

Из выражений (125), (126) и начальных условий (124) можно также получить начальные условия для искомых фупкций, определяемых системой уравпений в стандартной форме (128). Вводя обозначения находим их в следующем виде:

где и коэффициенты Фурье из (124).

Применим теперь принцип усреднения к системе (128), т. е. выпишем усредненную систему, используя оператор (см. § 1.3):

при начальных условиях отдельпых случаях, когда аналитическая структура системы (130) позволяет определять неизвестные функции последовательно или же искомые функции убывают но норме быстро с номером тогдг можно на практике заменить бесконечномерную систему некб торой конечномерной. Для этих случаев методика приведения счетной системе уравнений в сочетании с методом усреднения несомненно, представляет практический интерес, хотя теоретиче ские вопросы обоснования подобной процедуры далеки от пол пого решения.

Проиллюстрируем ее на нескольких простейших примера: [136], в которых усредненные уравнения позволяют определит последовательно все неизвестные функции

Пример 1. Рассмотрим уравнение

с краевыми и начальными условиями вида (118) и (119).

Предположим, что Тогда в системе отсутствует внутренний резонанс. Допустим для

делепности, что функция имеет вид частота внешней силы равна частота первого нормального колебания невозмущенной системы.

Тогда, поступая согласно изложенному методу, получим следующую усредненную систему:

Очевидно, что, определив из первых двух уравнений этой системы можно без затруднений найти все

Пример 2. Рассмотрим метод приведения уравнения в частных производных к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений применительно к следующему нелинейному уравнению:

встречающемуся в задачах об изгибных колебаниях балок, находящихся на упругом основании под воздействием внешних возмущающих сил

Предположим, что в уравнении малый параметр, а является аналитической относительно и функцией, не содержащей в своем разложении свободных членов с коэффициентами, зависящими от

При этих условиях для уравнения (133) требуется найти решение удовлетворяющее краевым и начальным условиям [136]

Предположим, что имеют место абсолютно сходящиеся разложения

Тогда, отыскивая решение уравнения (133), удовлетворяющее краевым и начальным условиям (134) и (135), в виде ряда

для определения неизвестных коэффициентов получаем счетную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

с начальными условиями где

Производя в уравнениях (136) замену переменных согласно формулам (125) и (126), вновь приходим к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в стандартной форме типа (128), к которым возможно применить метод усреднения.

Пример 3. Изучим теперь поперечные колебания балки длины I, неподвижно закрепленной на концах и находящейся под нагрузкой распределенной но ее длине (рис. 13).

Рис. 13. Изображопие прямоугольной горизонтальной балки, на которую действует поперечная нагрузка

Уравнение поперечных колебаний балки имеет вид [142]

где линейная плотность массы, I — момент инерции поперечного сечения, модуль упругости материала балки, реакция основания, на котором лежит балка, продольное усилие, возникающее в балке в результате удлинения нейтральной линии и равное

площадь поперечного сечения, малый положительный параметр.

В уравнении (137) искомой функцией является поперечное перемещение балки в точке х в момепт времени

Как видно из (137) и (138), этот колебательный процесс является нелинейным, и его исследование в общем случае представляется невозможным. Поэтому допустим также, что возмущающая нагрузка имеет порядок малости т. е.

Применим к уравнению метод Бубнова — Галеркипа [141]. Решепие уравнения (137) будем искать в виде ряда (122). Аналогично (123) здесь получаем счетную систему [17]

где — коэффициенты в разложениях Фурье для по фундаментальным функциям

Уравпепия (140) приводятся к стандартной в смысле Боголюбова форме

Чтобы конструктивную сторону дела можно было бы довести до конца, необходимо конкретизировать функции, входящие в уравнения. Поэтому предположим, что функция имеет кубическую нелинейность:

где заданные константы.

Представим коэффициент Фурье формулой

где

(см. скан)

где

Рассмотрим более подробно выражения для

Очевидно, что в силу ортогональности тригонометрических функций получаем при при

Пусть числа являются нечетными, т. е. предположим, что:

а) нечетное и четные. Тогда

б) четное и нечетные. Тогда

При четных зпачениях

После некоторых преобразований и вычислений можно найти, что при

Если

Если воспользоваться выражением для , то системе (140) можно придать вид

Применяя к уравнению (142) замену (125), (126), получим

Предположим теперь, что нелинейное возмущение является периодической функцией и рассмотрим два случая:

1) Пусть коэффициенты Фурье нагрузки имеют вид где не зависит от усредняя

уравнения (143), (144) по будем иметь

где при и если при некотором

Условие указывает на наличие резонанса между частотой собственных колебаний балки и частотой приложенной нагрузки.

Хотя системы усредненных уравнений (145), (146) являются нелинейными, их интегрирование в случае отсутствия резонанса может быть выполнено. Для этого умножим (145) на на и сложим:

Это уравнение является известным уравнением Бернулли [19] для функции его при заданных начальных уело виях будем иметь

После подстановки этого выражения в правые части системы (145), (146) и интегрирования находим

где

Если т. е. имеет лишь квадратичную нелинейность) и нет резонанса между частотами тогда усредненная система (145), (146) принимает вид

В этом случае очевидно, что будем иметь

В отличие от предыдущего случая это уравнение является линейным. Его интегрирование дает

где

В случае резонапса счетная система (145), (146) может рассматриваться как две подсистемы: резонансная, состоящая

всего из двух уравнений с неизвестными функциями и иерезоиапсная счетная подсистема для всех остальных неизвестных функций; последняя также может быть проинтегрирована в компактном виде с помощью описанного выше приема в том смысле, что находятся произведения

Что касается резонансной подсистемы, то она в конечном итоге принимает вид

где - функция времени, известная в результате интегрирования нерезонансиой подсистемы. Интегрирование этой пары уравнений в компактной форме не представляется возможным, поэтому здесь следует применять какие-либо другие аналитические или численные методы. Таким образом, точность решения всей счетной системы дифференциальных уравнений определяется точностью решения резопанспой подсистемы, но важно отметить, что после нахождения решений резонансной подсистемы вся счетная система расщепляется на отдельные линейные дифференциальные уравнения, решение которых находится по известным формулам. Заметим, что при больших резонанс не играет большой роли, так как в приложениях мы ограничиваемся вычислением относительно небольшого числа функций

2) Пусть нагрузка является условно-периодической функцией времени со спектром частот Тогда ее коэффициенты Фурье имеют вид

В отличие от предыдущего случая здесь могут иметь место многие (и даже бесконечное число) резонансные отношения вида

Если теперь провести усреднение по уравнений (143) и (144), то мы получим ту же систему (145), (146) с той лишь разницей, что если в случае 1) только одна пара уравнений (с индексом могла иметь отличное от пуля постоянное слагаемое то здесь таких пар может быть, вообще говоря, бесконечное множество.

Иными словами, и резонансная, и нерезонансная подсистемы могут содержать бесконечное число уравнений. Нерезонансная подсистема может быть проинтегрирована с помощью той же методики, а что касается резонансной подсистемы, то. здесь вопрос остается открытым. На практике существенно, при каких значениях возможны резонансы вида (150). Кроме того, как и в случае 1), здесь также возможна нерезонапсная ситуация, когда ни при каких равенство (150) но имеет места. Тогда, естественно, системы (145), (146) оказываются интегрируемыми в компактной форме. Хотим обратить внимание читателя на одпо немаловажное обстоятельство.

Мы научились интегрировать усредненные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вопрос же о близости функций к функциям остается открытым для так как в настоящее время нет строгой теоремы обоснования метода усреднепия для бесконечных стандартных систем дифференциальных уравнений.

Отметим, что другие задачи колебаний упругих и вязко-упругих систем методом усреднения изучены в [43, 142]. Некоторые из них сводятся к исследованию интегральных и интегродифференциальных уравнений, для которых асимптотические методы, основанпые на идее усреднения, развиты А. А. Ильюшиным, А. Н. Филатовым, Б. И. Моргуновым и другими учеными [142-146].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление