Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.5. Алгоритмы, реализующие обращение первых интегралов дифференциальных уравнений ограниченной круговой задачи трех тел

Процедура обращения первых интегралов (71) — (73) не является тривиальной, так как возмущающая функция и ее частные производные представляют собой ряды Пуассона (степенные ряды но степеням и отношения и тригонометрические ряды по кратпым Разработаны различные методики численного, полуаналитического и аналитического характера для обращепия первых интегралов в задачах небесной механики [127—132], реализованные на электронно-вычислительных машинах, хотя, к сожалению, ни одна из них не является универсальной и достаточно эффективной. Получение явных аналитических зависимостей от аномалии с помощью ЭВМ существенно зависит от мощности ЭВМ и возможностей математического обеспечения; необходимо иметь в стандартном математическом обеспечении ЭВМ пакеты программ для выполнения математических операций над аналитическими выражениями. Такими пакетами являются, например, системы аналитических преобразований (САП) Reduce [133], УПП [134], но, к сожалению, нельзя утверждать, что на ЭВМ сегодняшнего дня эти пакеты программ являются достаточно эффективными и производительными. Эффективность применения методов усреднении для асимптотического интегрирования мпогочастотпых систем дифференциальных уравнений зависит в конечном счете от возможностей систем аналитических преобразований на ЭВМ, так как выполнение того объема аналитических операций, который необходим при нахождении высших приближений, практически невозможно без ЭВМ. К сожалению, применение ЭВМ для выполнения аналитических (буквенных) операций (сложение, вычитание, умножение и деление рядов с буквенными коэффициентами, подстановка ряда в ряд и др.), по крайней мере на сегодняшний день, не является столь эффективным, как хотелось бы, поэтому часто представляется целесообразным иметь дело с рядами, коэффициентами которых являются числа. В этом случае использование ЭВМ сводится к выполнению арифметических

операций над коэффициентами-числами аналитических выражений. Такой метод может быть назван численно-аналитическим или полуаналитическим. Как мы убедились вьипе, построение асимптотической теории возмущений для таких систем не представляет принципиальных трудностей, лишь бы было пайдено в явпой форме решение усреднеппых уравнений первого приближения [7, 8, 17].

Изложим теперь некоторые алгоритмы обращения первых интегралов (71)-(74).

Усредненное значение по Делоне — Хиллу (67) возмущающей фупкции для каждого типа соизмеримости средних движений имеет свой аналитический вид, поэтому получение явной зависимости оскулирующих элементов (фазовых переменных от аномалии Делоне строится с учетом этого фактора.

В. А. Приходько [127] решил эту задачу для соизмеримости характерной для группы астероидов Минервы. В случае плоского варианта ограниченной круговой задачи трех тел усредненная возмущающая функция после выполнения процедуры интегрирования по формуле (67) принимает вид

где коэффициенты С выражаются через так называемые коэффициенты Лапласа [7] с помощью соотношений:

в которых суть числа, а нижние индексы коэффициентов рядов как раз и указывают на наличие соизмеримости Подставляя разложения (76) — (78) в первый интеграл (72), получим равенство вида

где

Равенство (79) можно рассматривать как неявную функцию неременных и наша первая задача состоит в отыскании явной зависимости Отметим, что, несмотря на принципиальную возможность обращения интегралов (71) — (74), фактическое их обращение связано с выполнением большого объема аналитических операций, и для этого целесообразно использовать ЭВМ.

Перейдем тенерь к отысканию явной функциональной зависимости

Функция является четной относительно и представляет собой тригонометрический ряд по аргументам, кратным аномалии Делоне а коэффициенты этого ряда суть ряды по степеням величины а [132].

Дифференцируя равенство (80), напишем частную производную в виде

В резонансном случае — и следовательно, и Отсюда следует, что к уравнению (80) применима теорема о существовании обратной для неявной функции [56], и, решая его, можно получить

Представим функцию в виде ряда

где выражается через коэффициенты Лапласа и в конечном итоге через различные целые степени Тогда равенство (79) примет вид

Из этого равенства можно различными способами определять Мы применим здесь способ, удобный с точки зрения машинной реализации.

Представим усредпенную возмущающую функцию как

Подставим (85) в равенство (72); тогда оно примет вид

Другими словами, равенство (72) мы представим в виде части, зависящей только от а, и части, зависящей от

Положим

считая, что А а мало по сравнению с

Разложим левую часть равенства (86) в ряд Тейлора в окрестности точки по степеням А а до четвертого порядка. Как оказалось, для всех астероидов группы Минервы замена ряда Тейлора такой суммой обеспечивает достаточную точность вычисления оскулирующих элементов орбит.

Соберем отдельпо члены ряда, зависящие только от а о, и члены, зависящие от Из того, что значения возмущающей функции и производных малы, следует, что вклад в значение выражения (86), даваемый членами, зависящими от значительно меньше вклада от членов, не зависящих от Отсюда следует, что мы можем определить из условия

а приращение из уравнения

Очевидно, что А а можпо искать в виде тригонометрического ряда

Уравнепие (89) решалось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Ньютона. За начальное приближение бралось значение большой полуоси конкретного астероида из «Эфемерид малых планет» Выражение (91) для подставлялось в (90) и требуемые преобразования для определения неизвестных коэффициентов а, проводились с помощью ЭВМ БЭСМ-6. В конечном итоге получилась неоднородная нелинейная система алгебраических уравнений относительно Она решалась на ЭВМ методом простой итерации. Начальные условия подбирались из предположения, что должны иметь порядок где малый параметр (масса Юпитера).

Таким образом, функция была представлена в виде тригонометрического ряда

На самом деле из условий требуемой точности представления коэффициентов ряда на ЭВМ вытекает, что можно ограничиться в этом ряде восемью членами, так как имеет порядок и является практически машинным нулем. Вообще говоря, система для получалась переопределенной, но после определения первых коэффициентов из некоторой подсистемы этой системы полученные подставлялись в остальные, неучтенные уравнения исходной системы. Эти уравпения с заданной точностью при найденных первых удовлетворялись, поэтому можно считать, что с максимально возможной машинной точностью являются искомым решением исходной системы.

Таким образом, оскулирующие большие полуоси а промежуточных орбит астероидов группы Минервы представляются в виде явной функции

аномалии Делоне

Полученное выше явное аналитическое представление оскулирующего элемента а позволяет перейти к отысканию явных аналитических выражепий для остальных оскулирующих элементов промежуточной орбиты резонансного астероида из группы Минервы,

Из соотношения

видно, что среднее движение астероида также можно искать в виде тригонометрического ряда по косинусам аргументов, кратных аномалии

с неизвестными коэффициентами

Заменим в соотношении (94) элементы соответствующими рядами (92) и (95). Как уже было отмечено выше, разложение для элемента а можно возвести в степень —3/2 по формуле бинома Ньютона, учитывая машинную точность определения коэффициентов в разложении (92), следующим образом:

где

Мы ограничились в разложении четвертой степенью суммы, исходя из точности представления коэффициентов в

разложении элемента а. Каждую конечпую сумму возводим в соответствующую степень, учитывая точность представления входящих и сумму коэффициентов разложения элемента а. Сделав приведение подобных в выражении (96) и приравпяв в левой и правой частях коэффициенты при косинусах одинаковых аргументов в соотношении (94), получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных

Решая эту систему относительно получим, учитывая точность представления элемента а, конечное выражение для определения элемента в виде мпогочлена

Определяя таким образом, иереходим к определению других оскулирующих элементов промежуточной орбиты астероида.

Параметр орбиты астероида можно также искать в виде ряда

с неизвестными коэффициентами

Из первого интеграла (71) выражаем оскулируюпщй параметр с помощью равенства

Заменив в этом равенстве функции рядами (92) и (99), получим для следующую систему уравнений:

Бесконечную систему алгебраических уравнений (101) можно заменить конечной, исходя из требуемой точности определения коэффициентов в ряде (92). Зависимость коэффициентов от малого параметра представляется соотношением Следует заметить, что при определении параметра и ниже, при определении других неизвестных параметров, возведение ряда в произвольную степень осуществлялось также с помощью формулы бинома Ньютона. После определения элементов можно перейти к нахождению элемента эксцентриситета орбиты, пользуясь соотношением

Из представлений (92), (99) и соотношения (102) следует, что можно искать в виде тригонометрического ряда по косинусам аргументов, кратных

с неизвестными коэффициентами

Заменяя в соотношении (102) параметры соответствующими рядами и проведя требуемые преобразования, получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов

где

Так как элементы представляются конечными разложениями, бесконечпая система (104) превращается в конечную систему, которую можно решить с помощью ЭВМ. В результате получаем конечное представление для элемента коэффициенты которого также связаны соотношением где малый параметр.

Для определения перейдем в иптеграле (73) от переменной интегрирования к переменной используя равенство (72):

Заменяя в этом равенстве соответствующими выражениями и приводя подобные в числителе и знаменателе подынтегрального выражения, получим

Проведя операцию деления многочлена на многочлен и проинтегрировав в заданных пределах, получим ряд по синусам

где

а определяются из системы алгебраических уравнений

Учитывая конечный вид представлений элементов и возмущающей функции бесконечную систему (109) можно заменить конечной, из которой итерационным методом можно получить с помощью ЭВМ искомые значения

Аналогичным образом определяется зависимость от аномалии Делоне из интеграла (74), который можпо переписать

следующим образом:

В числителе этого выражения — постоянное число, а знаменатель совпадает со знаменателем выражения (105). Следовательно, для определения можно написать

Коэффициенты определяются из уравпений (109), если произвести замену:

Проинтегрировав (111) в заданных пределах, будем иметь

где

Нам осталось определить среднюю апомалию астероида в орбите. Для этого воспользуемся формулой

Заменяя о» выражением (107), получим формулу

где

Таким образом, мы получили явные апалитические зависимости для оскулирующих усредненных элементов как функций аномалии Делоне а также зависимость не содержащие вековых членов, а выражающиеся только через тригонометрические функции. Отсюда можно сделать вывод, что даже в случае точного резонанса средних движений в усредненной ограниченной круговой задаче трех тел эти элементы изменяются колебательным, а не вековым образом.

Чтобы иметь явную зависимость элементов промежуточной орбиты от времени, следует найти обратную функцию и затем подставить ее в выражения для оскулирующих элементов. Однако при наличии современных вычислительных машин

проще для каждого заданного момепта времели с помощью одного из методов итерации определить соответствующее значение а затем найти значения всех элементов орбиты астероида на этот момент времени. Заметим, что такая процедура более целесообразна и экономна. Она в задаче двух тел практически использовалась всегда, с той лишь разницей, что вместо (74) решалось зпаменитое уравнение Кеплера [7]

где — эксцентрическая и средняя аномалии неоеспого тела.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление