Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.4. Ограниченная задача трех тел

Вернемся к системе (17) и положим в ней массу равной нулю:

а координаты планеты обозначим через х, у, z. Тогда система принимает вид

Такая модель задачи трех тел, в которой имеется одна большая масса одна малая и одна пулевая масса называется ограниченной задачей трех тел. Она служит весьма подходящей моделью для описания движений в задаче Солнце — Юпитер — астероид. Система (58) является полурасщенленпой, так как последние ее три уравнения не содержат функций х, у, z. Эти уравнения описывают движения в задаче двух тел легко интегрируются в конечной форме [7, 106]. В таком случае можно считать, что в первых трех уравнениях системы (58) координаты являются известными функциями времени. Но этой причине подсистема, состоящая из первых трех уравнений (58), может рассматриваться отдельно,

Итак, уравнения ограниченной задачи трех тел могут быть записаны в следующем виде:

где

величина

играет роль малого параметра в этой задаче. К сожалению, неизвестны какие-либо первые интегралы системы (59), которые могли бы способствовать ее интегрированию. Исключение составляет тот случай, когда возмущающая планета с массой движется по круговой орбите. Такая модель называется ограниченной круговой задачей трех тел, и ее уравнения имеют один известный нервый интеграл, так называемый интеграл Якоби [7, 126].

В случае ограниченной задачи трех тел уравнения (25) (если опустить индекс принимают вид

где средняя аномалия возмущающей нланеты в начальный момент

Как и в двухпланетпом варианте задачи трех тол, система уравнений (62) также является двухчастотной, но в отличие от системы (25) здесь одна частота, постоянная величина.

Усредненные уравнения первого приближения для системы (62) можно построить с помощью различных операторов усреднения, специально введенных для задач небесной механики [8, 124] и являющихся частпыми случаями операторов, описанных в §§ 1.3, 1.4, 4.3. К таким операторам отпосятся:

1. Схема усреднения Гаусса. Она усредпяет правые части дифференциальных уравпений по всем быстрым переменным и выражается формулой (35).

2. Схема усреднения Фату. Она выражается равенством

3. Схема усреднения Моисеева. Она выражается формулой

4. Первая схема Делоне — Хилла. Введем вместо быстрой переменной аномалию Делоне (см. § 4.3) по формуле

где целые числа таковы, что является малой величиной (случай -резонанса частот Наличие -резонанса частот обусловливает то, что аномалия Делоне становится медленной угловой переменной. После замепы будем иметь (см. § 4.3)

поэтому

где является наименьшим общим кратным для чисел при Схема усреднения (67) выгодна тем, что она сохраняет в все резонансные члены, т. о. все гармоники с малым знаменателем

5. Вторая схема Делопе — Хилла. Введем так называемую обобщенную аномалию Делоне по формуле

и с помощью этого соотношения разложения возмущающей функции (32) исключим разпость После этого выполняется процедура усреднения по средпей аномалии с помощью оператора

Схемы Фату и Моисеева являются типичными схемами усреднения по части быстрых перемепных (оператор из § 1.3), а схемы Делоне — Хилла суть схемы усредпения вдоль порождающего решения или при постоянных возмущениях (см. § 1.4) с учетом резонансов частот. Более подробные сведения о схемах усреднения в небесной мехапике можно найти в [8, 124].

Применяя теперь к системе (62) любую из приведенных схем сглаживания и идею Крылова — Боголюбова, можно получить усредненные уравнения любого конечного приближения вида (1.118) или (3.67), а из них (путем отбрасывания из правых частей сумм усредненные уравнения первого приближения; например, для системы (62) получаем с помощью первой схемы Делоне — Хилла:

Система (70) обладает тем замечательным свойством, что в пей сохранены резонанспые гармоники, а это значит, что функции преобразования Крылова — Боголюбова не будут содержать малых знаменателей. Таким образом, строится асимптотическая теория малых, а не больших возмущений. Тем самым задача с большими возмущениями (сильно возмущенная задача) благодаря качественному использованию метода сглаживания как бы становится задачей с малыми возмущениями (слабо возмущенной задачей). Действие малых знаменателей локализовано в усредпенных кеплеровых элементах

а в преобразовании Крылова — Боголюбова вида (3.60) «но будет отсутствовать. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова давало асимптотические представления для решения первоначальной системы (62), необходимо, как неоднократно указывалось раньше, решить усредненную систему (70). Можно доказать [8, 124], что усредпенные по Делоне — Хиллу уравнения плоской ограниченной круговой задачи трех тел интегрируемы в квадратурах, т. е. известпа полная система ее первых интегралов (система уравнений имеет четвертый порядок). То же самое можно утверждать и относительно усредненных по Фату и Моисееву уравнений плоской ограпиченпой круговой задачи трех тел. Что касается пространственного случая ограпиченпой круговой задачи трех тел, то известно, что только схема Гаусса (см. (35)) приводит к интегрируемой задаче. Первые интегралы усредненных уравнений мояшо найти в [7, 8, 124].

Остановимся более подробно на уравнениях (70) и предположим, что (плоский вариант задачи). Тогда система (70) будет иметь порядок 4, ее четыре первых интеграла известны [7, 8, 124]:

Соотношения (71) — (74) дают нам общее решепие уравнений (70) для плоского случая. Но чтобы получить в явном виде основные выражения для теории возмущений по Крылову — Боголюбову, зависимость функций от времени необходимо выполнить операцию обращения этих интегралов, в результате которой должны получить явную зависимость искомых фупкций от времени. Под операцией обращения первых интегралов подразумевается операция получения явной зависимости искомых функций (в данном случае переменных от времени или от какой-либо вспомогательной промежуточной переменной (например, аномалии Делоне . В астрономической практике находят явпые

зависимости из равенств (71), (72), (73), а равенство (74) играет роль уравнения Кеплера для задачи двух тел [7, 126]. Другими словами, в выкладках аномалия Делоне играет роль промежуточной независимой переменной, и липн. в окончательных формулах можно воспользоваться соотношением (74) для перехода от аномалии к времени как независимой переменной. Можно вообще написать уравнения возмущенного движения планеты, используя в качестве аргумента.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление