Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.3. Общая схема усреднения для задач небесной механики

Операторы усреднения, определенные в §§ 1.3, 1.4, могут быть объединены в пекоторую достаточно общую схему, пригодную прежде всего для задач небесной механики. Для этого введем -мерный вектор-столбец компоненты

которого суть правые части мпогочастотной системы

Рассмотрим прямоугольную числовую матрицу

и образуем -мерный вектор с помощью равенства

Пусть и ради определенности допустим, определитель

Разрешая систему (43) относительно будем иметь

где линейные функции своих аргументов.

Далее заменим быстрые переменные в вектор-функции с помощью равенств (45). Будем иметь

Функция также является периодической относительно угловых неремепных однако период по каждому из этих аргументов может отличаться от Эти величины ределяются элементами числовой матрицы (42). Обозначим периоды функции по переменным через соответственно и вычислим среднее значение переменные на соответствующих периодах, считая в процесс интегрирования пеизмепными:

Эта формула содержит в себе как частные случаи операторь усреднения определенные в § 1.3. Действительно 1. Оператор получается из (47), если положить если считать матрицу нулевой матрицей. Тогда

2. Оператор получается из (47), если

поэтому

3. Допустим теперь, что взята матрица

где — некоторые целые числа. Тогда очевидно, что вектор будет одномерным, а величина его единственной компоненты равна

Если, например, то

Подстановка выражения в (41) и интегрирование по переменным на соответствующих периодах дает

Это равенство непосредственно не выражает оператор усреднения по времени однако если числа являются не любыми, а лишь такими, для которых выполняется условие резонанса тогда после интегрирования по формуле (55) остаются лишь резонансные члены, т. е. сумма вида

где штрих, как и прежде, означает, что индекс суммирования к

принимает лишь «резонансные» значения; - коэффициенты Фурье функции

В заключение отметим, что общий оператор усреднения (47) содержит в себе и более общий случай схемы усреднения, а именно тот, когда существует несколько неколлйнеарных резонансных векторов к, для которых Тогда размерность вектора больше единицы. Вектор в небесной механике получил название «вектор аномалий Делоне» [8, 125].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление