Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.2. Проблема трех тел

В предыдущем параграфе изложена краткая история проблемы малых знаменателей, из которой следует, что они возникла при изучении движения Юпитера и Сатурна вокруг Солнца. Если предполояшть, что гипотетическая солпечная система состоит только из трех небесных тел (Солпца, Юпитера и Сатурна), то математической моделью такой нланетной системы являются уравнения проблемы трех тел, а точнее двухпланетного вариапта этой проблемы. В проблеме трех тел речь идет об изучении движения каждого из трех тел с произвольными массами взаимно притягивающих друг друга в соответствии с ньютоновым законом всемирного тяготения. Если же одна из масс, например намного больше других то говорят, что имеем дело с двухпланетным вариантом задачи трех тел. Для удобства принято называть тело с массой Солнцем, а тела с массами плапетами. В системе Солнце — Юпитер — Сатурн

Если ввести прямоугольную декартову систему координат с началом в центре Солнца (так пазываемую прямоугольную гелиоцентрическую систему), то дифференциальные уравнепия движения планет вокруг Солнца имеют вид [7, 106]:

где прямоугольные гелиоцентрические координаты планеты постоянная тяготения,

Порядок системы (17) равен 12, и, хотя опа имеет достаточно компактный вид (без бесконечных разложений), интегрирование в квадратурах не представляется возможным.

Уравнения (17) обладают одним существенным недостатком. В них усматриваются в явной форме основные частоты задачи, поэтому к ним непосредственно не применима асимптотическая теория, изложенная в гл. III. Сначала пеобходимо выполнить замену переменных для преобразоваия уравнепий (17), например, в систему вида (1.90), а потом уже воспользоваться теоремами и алгоритмами асимитотической теории возмущений. Астрономы такие замены разработали давно, и ниже будет приведена наиболее распространенная.

Для простоты будем рассматривать «эллиптический» случай, т. е. такой вариант двухпланетпой задачи, при котором невозмущенноё движение каждой планеты происходит по эллиптической орбите в соответствии с законами Кеплера [7].

Рис. 12. Элементы орбиты планеты основная координатпая плоскость (плоскость эклиптики) центральное тело — Солнце; наклоп орбиты планеты к плоскости эклиптики; точка восходящий узел орбиты; аргумент перицентра орбиты; долгота восходящего узла; истинная аномалия планеты А — перицентр орбиты

Введем вместо координат и скоростей каждой планеты шесть кеплеровых элементов орбиты: большую полуось орбиты эксцентриситет орбиты наклон орбиты

долготу восходящего узла угловое расстояние перигелия от узла среднюю аномалию в эпоху (в определенный момент времени) Геометрический смысл этих элементов поясняется на рис. 12. Формулы, реализующие такую замену переменных, имеют вид [7]:

В этих формулах фокальный параметр эллипса, момепт прохождения планеты через перигелий своей орбиты.

В кеплеровых элементах система (17) преобразуется в систему [7, 106]:

В уравнениях (25) используются следующие обозначения: — долгота перигелия планеты ее среднее движение, I, — ее средняя долгота в орбите. Для этих переменных имеем соотношения

где средняя аномалия плапеты вычисляемая по формуле

Как видно из (27), величины не обращаются в нуль при поэтому они и являются основными частотами в двухпланетной задаче. Для этих частот мы сохранили традиционную астрономическую символику и не воспользовались обозначением (как мы это делали в гл. I и III), так как в астрономии со времен Лапласа буква со используется для обозначения углового расстояния перигелия от узла (см. рис. 12).

На планету действует притяжение со стороны планеты поэтому возмущающая функция пропорциональна массе а возмущающая функция пропорциональна массе Если считать массы малыми (порядка т. е. где коэффициент пропорциональности, то система (25) является, по существу, двухчастотной системой типа (1.90). Она описывается десятью медленными переменными и двумя быстрыми переменными Чтобы система (25) имела вид многочастотной системы (1.90), необходимо сначала представить частные производные возмущающих функций в виде рядов Фурье по угловым переменным, после чего следует выполнить достаточно простые алгебраические операции в правых частях системы (25).

Получение копкретных разложений Фурье для возмущающих функций (а следовательно, и для их частных производных) является одной из наиболее громоздких задач аналитической

небесной механики. К счастью, классики небесной механики (и в первую очередь Леверье [107]) получили первые члены таких разложений в явном виде, и для плапетных задач мы имеем выписанную в явной форме [7, 8] многочастотную систему дифференциальных уравнений вида (1.90).

В разложении Леверье возмущающей функции [107] получены все члены ряда Фурье с коэффициентами до 7-й степени включительно относительно малых величин: эксцентриситетов орбит двух планет отношения больших полуосей где I — угол между плоскостями их орбит (угол взаимного паклона орбит).

Во всяком случае читателю легко убедиться в том, что обозначения

(см. скан)

приводят систему (25) сразу к виду (1.90)

где - периодичвы относительно долгот

В системе (31) некоторые угловые переменные включены в вектор медленных переменных х, хотя классические разложения небесной механики указывают на то, что являются -периодичными по Поэтому наиболее привычное разложение возмущающей функции для задач небеспой механики записывается в форме [7]

Здесь уже введен шестимерный вектор медленных переменных х (вместо десятимерного), имеющий компоненты , а шестимерный угловой вектор у, вместо двумерного, имеет в качестве компонент две быстрые переменные и четыре медленные угловые перемепные

Коэффициенты являются бесконечными степенными рядами относительно эксцентриситетов отношения больших полуосей и величины Эти аналитические выражения чрезвычайно громоздки, поэтому приводить их в дапной монографии нецелесообразно. Заинтересованный читатель может их найти, например, в книгах [7, 107].

При получаем порождающую систему

Если теперь вернуться к нестрогим рассуждениям, изложенным в предыдущем параграфе, то нетрудно уловить связь между уравнениями (25), (31) и (2). Уравнения (2) представляют собой приближенную модель для системы (25), в которой десять кеплеровых элементов считаются постоянными.

Система (33) определяет невозмущенные эллиптические орбиты плапет соответственно. Ее общее решение имеет вид

Метод усреднения в сочетании с преобразованием Крылова — Боголюбова, применяемый к уравнениям (25), позволяет в принципе построить асимптотическую теорию возмущений в двухпланетной задаче до любого конечного порядка. Методика и алгоритмы, изложенные в гл. III, здесь естественно находят непосредственное применение. Астрономы разработали несколько

схем усредпения [123, 124], которые можно рассматривать как частные случаи операторов усреднения из §§ 1.3, 1.4. Например, Гауссом предложепа схема усреднепия

которая может трактоваться как оператор усреднения по быстрым переменным определенный в § 1.3. В этом случае усредненная возмущающая функция не зависит от быстрых переменных

Используя оператор усреднепия (35), можно выписать усредненные уравнения первого приближения в смысле Боголюбова (см. § 1.7) для двухпланетной задачи трех тел. Они имеют вид

Не представляет особого труда и паписапие усредпеппых уравнений любого конечного приближения путем добавления к правым частям уравнений (36) выражений вида

Таким образом, к уравнениям (25) (или, что то же самое, к уравнениям (31)) в полном объеме применимы методика и алгоритмы, изложенные в § 3.5 и позволяющие вычислить в аналитической форме возмущения любого порядка, т. е. члены вида составляющие преобразование Крылова —

Боголюбова. Например, для больших полуосей планетных орбит (которые являются медленными переменными) будем иметь

где вектор-функции определяются в аналитическом виде с помощью формул (3.54), (3.55) в зависимости от того, имеются или отсутствуют резонансные соотношения между начальными значениями средних движений планети Формулы, аналогичные (37), естественно получаются и для других элементов орбит — медленных переменных

Быстрые переменные — долготы планет — выражаются с помощью формул

в которых аналитические выражения для вектор-функций представляются формулами (3.56), (3.57). Формулы, вида (37), (38), с одной стороны, выражают преобразование Крылова — Боголюбова, а с другой — дают асимптотическую теорию возмущений первоначальных уравпепий двухпланетной задачи (25) с точностью до если в них вместо поставлены решения усредненных уравнений приближения. В связи с этим на первое место выдвигается вопрос об интегрируемости усредненных уравнений первого приближения (36) или вообще приближения.

Гауссом доказано, что частный случай планетного варианта усредненной задачи трех тел, а именно ее «плоский вариант», состоящий в том, что плоскости орбит планет совпадают и, следовательно,

сводится к интегрируемому случаю [7, 8]. К сожалению, усредненные уравнения первого приближения (36) для «пространственного случая» не интегрируемы в квадратурах, хотя очевидным образом можно выписать два первых интеграла:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление