Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, В КОТОРЫХ ВОЗМОЖНЫ ЧАСТОТНЫЕ РЕЗОНАНСЫ

В настоящей главе изложены алгоритмы, способствующие реализации метода усреднения и его различных вариаций в многочастотпых колебательных системах, в частности в системах с распределенными параметрами [105]. Осповные трудности, возникающие при исследовании многочастотпых дифференциальных уравнений, как было показано в гл. III, состоят в получении оценок для количественного влияния частотных резопансов на амплитуды гармоник, входящих в структуру функций преобразования Крылова — Боголюбова. Большой самостоятельной задачей является также реализация вычислительных алгоритмов, так как интегрирование усредненных уравнений в аналитической форме, как правило, но представляется возможным.

§ 4.1. Проблема малых знаменателей. Краткая история вопроса

Модельные задачи, описаппые в гл. II, по существу, не содержат резонансных явлений, так как мы имеем дело в них с одной основной частотой Настоящие трудности при решении задач, описывающих колебательные процессы, начинаются там, где имеется но меньшей мере две основные частоты. Многие трудности возникают, как мы видели в гл. III, из-за появления малых зпаменателей при интегрировании уравнений в частных производных для замепы переменных Крылова — Боголюбова.

Знаменитая проблема малых зпаменателей возникла при исследовании дифферепциальпых уравпепий, описывающих движение в планетных и спутниковых системах в ньютоновских гравитационных полях. Так как эта проблема представляет научпый и практический интерес для достаточно широкого круга специалистов и имеет достаточно богатую и поучительную историю, остановимся на пой более подробно [21, 106]. Впервые малые знаменатели обнаружил Лаплас в 1784 г., изучая движение Юпитера и Сатурна вокруг Солнца. Оказалось, что малые знаменатели (дальше мы дадим подробное их описание) приводят к очень важным особенностям в движении этих планет, которые

но могли быть объяснены выдающимися математиками прошлого (Лагранжем, Эйлером, Ламбертом и др.).

Дело в том, что движеппя планет и спутников (точнее, их координаты и скорости) имеют весьма сложный характер и математически могут быть представлены в виде кратных рядов Фурье, т. е. в виде комбинаций многих (чаще всего бесконечного множества) периодических движений с разпыми периодами, или, что то же самое, с разпыми частотами. Обычно при атом возможно выделить основные или главные частоты, которые по сравнению с другими суть большие величины. Например, в двухпланетной задаче (Солнце-нланета — планета) можно выделить две основные частоты, соответствующие средним периодам обращения планет вокруг Солнца и представляющие собой средние угловые скорости их движения но гелиоцентрическим орбитам; астрономы называют эти основные частоты средними движениями. Строго говоря, средние движения планет или спутников не являются постоянными, но, как показывают наблюдения, изменяются очень медленно но времени.

Если в некоторой двухнлапетной задаче основные частоты (средине движения) находится в близкой соизмеримости (в терминологии гл. III «имеет место -резонанс частот»), то тогда мы и встречаемся с проблемой малых знаменателей. Математически эффект малых знаменателей проявляется в том, что в решениях уравнений движения, представляемых рядами Фурьет появляются периодические члены с коэффициентами, знаменатели которых близки к нулю, или, иными словами, появляются гармоники с большими амплитудами. В движениях планет появляются эффекты, называемые в физике резонансными, наподобие резонансных колебаний двух маятников, точки подвеса которых находятся на общем гибком горизонтальном стержне.

15 случае частотных резонансов элементы орбит планет и даже их средние движения претерпевают большие изменения, которые на сравнительно коротких интервалах времени трудно отличить от вековых, т. е. от линейных функций времени. Например, в случае Юпитера и Сатурна их средние движения изменяются так, что на протяжении 100 лет они почти не отличаются от вековых. Именно это обстоятельство побудило Лаграпжа предпринять попытку (правда, неудачную) построить теорию движения Юпитера и Сатурна со средними движениями в виде линейных функций времени.

Как мы видели в гл. III, асимптотическая теория дифференциальных уравнений, использующая методы усреднения, указывает на то, что малые знаменатели препятствуют построению точных решений уравнений движения - небесных тел в виде сходящихся бесконечных рядов для всех значений времени . Если бы в арсенале пауки имелись такие решения, то из следовал бы вывод об устойчивости или неустойчивости

Солнечной системы — одип из наиболее волпующих вопросов современного естествознания. Математические аспекты этой чрезвычайно трудной проблемы весьма подробно проанализированы Пуапкаре в знаменитом сочинении «Новые методы небеспой механики» [12].

Вернемся теперь к замечательным исследованиям Лапласа. По наблюдениям второй половины XVIII в. среднее движение Сатурна а Юпитера Легко вычислить, что средние движения указанных планет рационально почти соизмеримы (они измеряются в угловых секундах в сутках).

Из этого отношения вытекает, что

Вспоминая определение -резопанса, данное в § 3.1, можно заключить, что

Соответствующие дифференциальные уравпепия для долготы Сатурна (величина и Юпитера (величина 12) с учетом их взаимных притяжений имеют следующий общий вид [21]:

где некоторые функции, сложным образом (но, правда, почти линейно) зависящие от времени а от самих долгот

Аналитическая структура коэффициентов "к также очень сложна [7, 21], по в приблткенных теориях можно считать их постоянными величинами. Если паиисать строгую замкнутую систему дифференциальных уравнепин планетной динамики. то она будет иметь вид многочастотной вращательной системы с медленными и быстрыми переменными (см. гл. III), и, следовательно, представляются степенными рядами относительно медленных перемепных, в качество которых здесь выступают отношения больших полуосей плапетных орбит, их эксцентриситеты и взаимные наклоны орбит [7]. Кроме того, известно, что достаточно быстро убывают с возрастанием и важно также отметить, что коэффициенты пропорциональны массе Юпитера, а — массе Сатурна; поэтому приблизительно раза больше Отсюда следует ожидать, что эффект изменения со временем более значителен по сравпению с изменением

В известных теориях движения плапет (как современных, так и прежних) показапо, что на промежутке времени, исчисляемом десятилетиями,

где почти точпо совпадают со зпачениями средпих движений, получаемых непосредственно из наблюдений, выполненных на протяжении многих веков. Если допустить, что постоянные числа, а выражаются формулами (3), то в результате интегрирования уравнений (2) получим

где постояппые величины.

До Ланласа при построении теорий движепия плапет вокруг Солнца астрономы ограничивались члепами с наименьшими индексами суммирования (конечно, без строго математического обоснования такого усечения рядов), неявно предполагая, что все остальные слагаемые пренебрежимо малы (заметим, что в случае теорий движения других больших планет именно это имело место). Однако Лаплас обнаружил, что гармоника

имеет вопреки прежним представлениям весьма большую амплитуду за счет малости знаменателя который меньше, например, знаменателя в 300 раз. Если бы не были рационально почти соизмеримыми, тогда выписанная гармоника имела бы малую амплитуду и ее можпо было бы не учитывать в теории, как это делали предшественники Лапласа. Лаплас обнаружил таким образом, что резонанс приводит к появлению гармоники с большой амплитудой, и учет этой гармоники в теории движения Сатурна и Юпитера позволил привести теорию и наблюдения и относительное согласие.

Далее Лаплас получил, что средние суточпые движения Сатурна и Юпитера содержат долгопериодические возмущения с периодом 883 года и с весьма значительными амплитудами соответственно. Если их не учитывать, то расхождения в долготе между теорией и паблюдепиями для Сатурна могут достигать 50, а для Юпитера 20 и более. Именно эти

наблюдаемые предшественниками Лапласа отклонения и ставили ученых в тупик.

Исследования Лапласа по теории движения Сатурна и Юпитера следует призпать выдающимся достижением математики и небесной механики, их мощных аналитических средств. Они поставили перед математиками и астрономами следующих поколений ряд фундаментальных проблем, решепие которых обогатило современную математику.

После открытия Лапласом эффекта малых зпаменателей (и особенно в XIX в.) наметились два четко выраженных, хотя и очепь связанных между собой, направления.

Первое направление можно назвать астрономическим. Оно заключается в разработке методов и непосредственном построении приближенных решений тех задач небесной механики, в которых имеет место резонанс частот (в первую очередь соизмеримость средних движепий) орбитальных движений небесных тел. От таких решений требовалось достаточно точное описание реальных движений, как правило, на ограниченном, но достаточно большом промежутке времени. В математической терминологии, речь идет о построении асимптотических решений дифференциальных уравнений планетной динамики на асимптотически большом промежутке времени (порядка Астрономы, можно сказать, успешпо решили эту задачу теории возмущений для «не очень острых» резонансов с помощью классических разложений, понимаемых нами как такие аналитические выражения для искомых переменных, которые содержат вековые, тригонометрические и смешанные возмущения, т. е. возмущения вида соответственно.

Классическая теория возмущепин для описания орбитальных движений больших планет вокруг Солнца была разработана в основном Эйлером, Клеро, Лаграпжем, Лапласом, Гауссом, Леверье, Ньюкомбом [12, 107—110].

Исторически проблема малых зпамепателей возникла при изучении движений в задаче Солпце — Юпитер — Сатурн, хотя астрономы относят ныне эту задачу к задачам с «не очень острым» резонансом. Представим себе на миг, что средние движения Сатурна и Юпитера равны " соответственно. Тогда рад, и выписанная выше гармоника имела бы амплитуду еще в 100 раз больше и «неправильности» в системе Юпитер — Сатурн были бы намного значительнее. В этом гипотетическом случае долгий период был бы равеп 88300 годам, а расхождения в долготах из-за неучета в теории члена достигали бы немыслимых величин — около 83° и 23°. Тогда задача Солнце — Юпитер — Сатурп была бы типичпой сильно возмущенной задачей (см. § 1.12).

Второе направление в проблеме малых знаменателей — математическое (или, если угодно, теоретическое), и состоит оно в качественном анализе решепий дифференциальных уравнений движения небесных тел и в построении таких рядов, которые сходятся на неограниченном интервале времени. Из аналитических выражений для возмущений, построенных с помощью классической теории, с достаточной очевидностью следует, что классические разложения пригодны на некотором конечном промежутке времени, вне которого они не соответствуют реальным движениям планет. Поэтому следует считать естественными поиски математических методов, которые позволяли бы получать аналитические выражения (в первую очередь для медленных позиционных неременных не содержащие члепов, пропорциональных

Лаплас был первым, кто обратил внимание на пороки классических разложений и поставил задачу об отыскании решений уравнений движения планет в виде тригонометрических рядов (если не учитывать неизбежный вековой член вида в угловых переменных у в обозначениях гл. I и III). В XIX в. был выполнен ряд замечательных исследований (III. Делоне [22], С. Ньюкомб [110], А. Липдштедт [88], Г. Гильдеп [111]), согласпо которым решения планетных задач можно представить в виде формальных тригонометрических рядов.

Но наиболее глубокие математические результаты были получены на рубеже XIX и XX вв. Пуанкаре [12]. Историю этого интересного вопроса можно прочитать в [21].

В применении к системе дифференциальных уравнений канонического вида, которые можно рассматривать как частный случай мпогочастотных автономных вращательных систем (см. § 1.9), эти результаты сводятся к следующему.

Пусть дана каноническая система (подробности см. в гл. V)

где переменные типа «действие — угол» (см. гл. V), т. е. х—вектор позиционных переменных, у — вектор угловых переменных. Гамильтониан 11 имеет вид

где — так называемая невозмущенная часть гамильтониана, не зависящая от угловых переменных -возмущающая его часть, представимая -кратным рядом Фурье относительно у в некоторой области

Легко видеть, что если ввести обозиачепия

то гамильтонова система (6) записывается в виде (1.90).

Пуанкаре показал, что степенные ряды по степеням вида

в которых коэффициенты выражаются тригонометрическими рядами вида

представляют собой формальное решение гамильтоповой системы (6). В формулах (12), -постоянные интегрирования, а постоянная (частота угловой переменной зависит от следующим образом:

Если бы ряды (12), (13) сходились равномерно по то они нредставляли бы общее решение канонической системы (6), в котором позиционные переменные остаются ограниченными при всех значениях Более точно, медленные переменные являлись бы условно-периодическими функциями времени с частотами.

Однако Пуанкаре [12] продемонстрировал, вообще говоря, расходимость рядов (12).

Положение в припципе остается таким же и в том случае, когда начальные значения частот «не резонируют» при векторах к с относительно небольшой нормой Дело том, что в бесконечных рядах (11), (13) всегда существуют иекторы к с достаточно большой нормой для которых резонанс

при произвольном векторе начальных частот лсегда существует.

На основании этого Пуанкаре доказал, что ряды (12), (13) но могут сходиться равномерно по для

начальных условий которых зависят начальпые частоты, варьируемых в некотором интервале, даже при сколь угодно малых значениях

Пуанкаре также поставил вопрос о том, могут ли ряды сходиться при малых и при некоторых фиксированных и выбранпых надлежащим образом величинах Обоснованного отрицательного ответа Пуанкаре не получил, но он считал такую возможность весьма маловероятной, в чем, как показали исследования математиков, наших современников, он оказался неправ.

С точки зрения строгой сходимости рядов (12), (13) первые положительные результаты в проблеме малых знаменателей были получены в 1942 г. немецким математиком К. Л. Зигелем [91] и в 1953-1954 гг. академиком А. Н. Колмогоровым [112, 113].

Решающими для этого явились, следующие новые идеи, основанные на «метрической копцепции»:

1. Использование того факта, что все малые знаменатели для «большинства» в смысле меры Лебега (см. [92]) иррациональных частот удовлетворяют некоторым оценкам снизу, вытекающим из арифметических свойств иррациональных чисел [114]. Если частоты суть рациональные числа, то очевидно, что всегда найдется целочисленный вектор к, для которого выполняется условие точного резонанса -резонанса) но множество рациональных чисел счетно и, следовательно, мера Лебега этого множества равна нулю.

2. Анализ сходимости рядов с малыми знаменателями не для всех частот, а только для множества частот, удовлетворяющих оценкам, упомянутым в п. 1. Тогда пригодность рядов, оценивается в зависимости от меры множества частот, для которых ряды сходятся.

3. Отказ от обычных рядов по степеням малого параметра при построении решений; применение нового итерационного метода типа метода Ньютона [115], основанного на последовательной замене переменных и обладающего ускоренной сходимостью, которая позволяет «погасить» влияние малых знаменателей.

Первые две идеи принадлежат Зигелю [91].

Разобьем множество всех вещественных чисел из интервала (числа и включены) на два множества по следующему принципу. В множество включим такие иррациональные числа а, для каждого из которых можно найти такое положительное число что при любом целом положительном выполняется неравенство

Неравенство (16) ограничивает снизу возможную скорость убывания абсолютных величин малых знаменателей при число может, вообще говоря, стать сколь угодно малым, по оно все же больше числа которое тоже становится сколь угодно малым. Заметим, что для любого рационального числа из интервала неравенство (16) не имеет места, так как в этом случае всегда можно найти положительное число такое, что

Уместно поставить следующий вопрос: какова лебегова мера множества Оказывается, что лебегова мера этого множества равна 1, т. е. «почти все» иррациопальные числа 1) удовлетворяют оценке

В множество входят все правильные рациональные дроби и те иррациональные числа, которые не удовлетворяют оценке (16). Лебегова мера множества равна нулю, но, к сожалению, оно всюду плотно в интервале и это является одним из основных препятствий на пути решения динамических задач, в которых могут появиться малые знаменатели. Неравенство (16) и аналогичные ему другие оценки играют ключевую роль в «борьбе» с отрицательным эффектом малых знаменателей.

Рассматривая консервативные динамические системы, Колмогоров ввел «метрическую» точку зрения, которая позволяет изучать свойства не всех возможных движений, а основной массы движений, соответствующих не всем, а «почти всем» начальным условиям. Колмогоров предложил для исследования задач с малыми знаменателями новый в теории динамических систем итерационный метод, обладающий свойством ускоренной сходимости по сравнению с геометрической прогрессией. Идею такого метода в самой первичной фроме для задач небесной механики мы встречаем у С. Ньюкомба в работе 1874 г. [116].

После замечательных исследовашт Зигеля и Колмогорова появилось большое количество первоклассных математических работ [117—121]. В. И. Арнольдом доказано, что большинство в смысле лебеговой меры траекторий гамильтоповых систем вида (6) в вырожденном случае (это наиболее сложный случай, когда частоты задачи зависят от всех медленных переменных) являются условно-периодическими функциями времени, если малый параметр весьма мал. Конечно, здесь идет речь о точных, не об асимптотических приближенных решепиях гамильтоповых систем. Колмогоров, Арнольд и другие исследователи [112, 117, 118] рассматривали аналитические гамильтоповы системы аналитичная по -периодическая по у (функпия). В связи с этим особого упоминания заслуживают работы 10. Мозера [120, 121], который распространил идеи Колмогорова на случай систем уравнений с конечное число раз

дифференцируемыми правыми частями. Кроме того, Мозер рассмотрел неканонические системы (т. е. системы вида (1.90)) и связал проблему нахождения их условно-периодических решений с теорией алгебр Ли [122] и конечных подгрупп бесконечномерных групп преобразований, получив при этом ряд глубоких заключений весьма общего характера.

Достаточно подробное изложение истории проблемы малых знаменателей дает возможность читателю почувствовать ту глубокую органическую связь между теорией точных решений дифференциальных уравнений и асимптотическими методами, дающими их приближенные решения. Математику-прикладнику всегда следует стремиться к распознаванию финальных (т. е. при свойств решений, так как подобная информация существенно облегчает построение и асимптотических приближенных решений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление