Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.9. Релаксационные колебания

В предыдущем изложепии мы рассматривали обыкновенные дифференциальные уравнения, правые части которых являются регулярными функциями малого параметра Другое направление асимптотической теории связано с исследованием таких обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых малый параметр является множителем при старших производных. Классическим примером такой системы является двумерная система

где х, у — скалярные функции времени Если вместо (97) написать систему

то из нее видно, что правая часть первого уравнения уже не является регулярной в точке Системы вида (97) получили в математической литературе [93, 99] название сингулярно возмущенных уравнений.

Различные аспекты теории уравнений вида (97) изучены А. И. Тихоновым и его учениками А. Б. Васильевой, С. А. Ломовым, М. В. Федорюком, М. И. Иманалиевым, К. А. Касымовым, В. Ф. Бутузовым и др. [93—102]. Указанные авторы развили теорию пограничного слоя, разработали аналитический аппарат для изучения этого явления (ряды, членами которых являются «пограничные» функции), изучили условия разрешимости начальной и краевой задач.

Оригинальное направление в исследовании сингулярно возмущенных систем было предложено Л. С. Понтрягиным Сущность идей Л. С. Понтрягина состоит в том, что всякую траекторию системы (97) следует разбить на несколько участков и на каждом из этих участков строить свое асимптотическое представление с произвольной заданной степенью точности. Эти участки в свою очередь сшиваются в цельную траекторию без потери точности. Это весьма плодотворное научное направление в асимптотической теории дифференциальных уравнений получило развитие в работах Е. Ф. Мигцепко, Н. X. Розова и других учеников Л. С. Понтрягипа и достаточно полно изложено в монография [104]. Материал этого параграфа в основном заимствован из

указанной монографии, и мы обратились к нему прежде всего по той причине, что усматривается нечто общее в методике построения решений резонансных систем с регулярными по правыми частями и решениями сингулярно возмущенных систем: в обоих случаях используется идея сшивапия участков траекторий. Когда мы говорим о решениях систем вида (97), мы имеем в виду прежде всего так называемые релаксационные колебания: такие периодические решения, которые состоят как из участков медленного, так и из участков быстрого изменения фазовых координат в функции времени и из переходов от одних к другим — срывов и падений.

Рассмотрим соответствующую (97) вырождепную систему

В отличие от регулярных систем здесь вырожденная система состоит из одного функционального и одного дифференциального уравнений, поэтому говорить о порождающем решении с произвольной пачалышн точкой не представляется возможным: они всегда должны удовлетворять функциональному уравнению

Поэтому вопрос о построении решений сингулярно возмущенной системы (97), -близких к решениям вырожденной системы (99), имеет смысл лишь для таких решений возмущенной системы (97), начальные точки которых находятся в достаточно малой окрестности кривой Выяснилось [104], что все такие решения стремятся при к решениям порождающей системы (99).

Изложим в общих чертах геометрическую интерпретацию на фазовой плоскости релаксационных колебаний двумерных систем вида (97), предложенную Е. Ф. Мищенко и Н. X. Розовым [104].

В каждой точке фазовой плоскости определим вектор фазовой скорости системы (97):

Пусть начальпая точка движения (рис. 9). Если она находится на конечном расстоянии от кривой (100), то в этой точке при копечном значепии имеет бесконечно большую первую компонепту при Следовательно, фазовая координата х изменится на конечную величину почти мгновенно при почти неизменном значении фазовой координаты у, т. е. движение точки по траектории будет близким к движению по горизонтальной прямой в силу дифференциального уравнепия

Характер движения на первом участке не измелится до те. пор, пока фазовая точка системы (97) не приблизится к криво! (рис. 10) на расстояние порядка пока компонента вектора станут сравнимыми между собой. Если уравнение (102) не имеет устойчивых положений равновесия, движущаяся точка с большой скоростью уйдет в бесконечном; почти по прямой

Рис. 9. Изображение траекторий системы (3.97), у которой

Рис. 10. Качественное поведение траектории системы (3.97) с начальной точкой при малых значени

Если же фазовая точка, двигаясь в соответствии с уравнением (102), приблизится к одному из устойчивых положений равновесия, то после этого движение по траеь тории сингулярно возмущенной системы (97) будет происходит; плавно, вблизи устойчивого участка кривой как бы сопровождая движущееся по кривой устойчивое положение равновесия уравнения

при меняющейся координате у. Сама координата у изменяется медленпо в силу вырожденной системы (99).

Может оказаться, что на рассматриваемом участке кривой нет положений равновесия системы (99). Тогда величина у может достичь за конечное время некоторого бифуркационного значения фазовая точка системы (97) быстро устремится почти по прямой в окрестность другого устойчивого положения равновесия уравнения

Если бифуркационпого значения не окажется, то фазовая точка будет медленпо удаляться в бесконечность, оставаясь вблизи кривой Возможна такая ситуация, когда в результате

последовательного чередования медленных и быстрых движений возникает замкнутая траектория, которая и представляет собой релаксационное колебание (рис. И). В силу этой интерпретации естественно называть переменную х быстрой, а переменную у медленной (напомним, что в других параграфах книги переменная х представляла медленные движения, а переменная быстрые движения). В терминологии Е. Ф. Мищенко и Н. X. Розова [104] уравнение (103), в котором у рассматриваемся как параметр, называется уравнением быстрых движений, соответствующим сингулярно возмущенной системе (97).

Рис. 11. Изображение релаксационных колебаний системы (3.97)

Такова в целом качественная картина поведения траекторий сингулярно возмущенных двумерных систем вида (97). Названными авторами [104] разработаны также аналитические представления для различных участков траектории.

Всякую фазовую траекторию системы (97) можно разбить на участки следующих четырех типов:

а) участок медленного движения, лежащий в е-полосе, сопровождающей участок медленного движения траектории но не охватывающей конечные окрестности точки падения и точки срыва;

б) участок срыва, лежащий в конечной окрестности точки срыва траектории

в) участок быстрого движения, лежащий в -полосе, сопровождающей участок быстрого движения траектории но не охватывающей конечные окрестпости точки срыва и точки падения;

г) участок падения, лежащий в конечпой окрестности точки падения траектории

К этим участкам следует еще добавить пачальиый участок быстрого движения, начинающийся в начальной точке, и следующий за ним начальный участок падения.

Асимптотические разложения для координат на различных участках траектории сипгулнрпо возмущенной системы (97) (в копечных окрестностях точки срыва и точки падения вводятся свои локальные координаты) имеют различную аналитическую структуру. На одних участках это обычные степепиые разложения по степеням малого параметра на других участках разложения строятся по величинам где целые неотрицательные числа. Коэффициенты этих асимптотических разложений, как показало в монографии [104], могут быть вычислены непосредственно с помощью функций

без операции интегрйровапия. Важнейшей характеристикой релаксационного колебания является его период найдено следующее асимптотическое представление:

где целочисленная функция определяется следующим образом:

Читателя, заинтересованного в использовании конкретных формул аппарата, развитого для изучения релаксациопных колебаний, отсылаем к монографии Е. Ф. Мищенко и Н. X. Розова [104].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление