Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.8. Неавтономные вращательные системы

Рассмотрим теперь неавтономные вращательные системы -го порядка

где функция -периодичпы по у и алалитичны по х, у в соответствующей области. Если являются периодическими функциями и по то, вводя и частоту мы приводим систему (75) к автономной вращательной системе -го порядка, поэтому заслуживает отдельного рассмотрения случай непериодической зависимости от

Сначала применим к правым частям уравнений (75) оператор усреднения по времени

и напишем систему сравнения для (75) в виде

где через обозначен параметр в функциях а функции как и раньше, пока неизвестны.

Для преобразования системы (75) в (77) воспользуемся неавтономным преобразованием Крылова — Боголюбова в виде

Для функций преобразования имеем бесконечную систему уравнений в частных производных

Последовательное интегрирование уравнений (79)-(82) представляет собой в общем случае существенно более сложную задачу но сравнению с автономными вращательными системами. Тем не менее существует достаточно общин алгоритм, позволяющий написать их решение в аналитической форме. В силу периодичности по у имеем разложения

из которых следует, что усреднение по сводится к усреднению коэффициентов Иными словами,

Введем теперь обозначения

Пользуясь разложениями (85), (86) и операторами (89) — (94), можно вывести последовательные выражения для решения системы (79) — (82). Например,

Формулы (95), (96) показывают, что в принципе возможно выписать также решения уравнений (81), (82), которые будут выражаться через и через произвольные дифференцируемые по х функции а также будут содержать произвольные функции Выбор последних следует осуществить с помощью условий (74), гарантирующих ликвидацию хотя бы части вековых членов вида а(х,

Из приведенных формул видно, что построение асимитотической теории возмущений неавтономных многочастотных систем (75) представляет собой громоздкую аналитическую задачу из-за того, что функции преобразования Крылова — Боголюбова выражаются через интегралы (89)-(94), и, следовательно, эффективность построения асимптотической теории зависит от эффективности аналитических методов вычисления интегралов (89)-(94).

Следует подчеркнуть, что, как всегда в процессе интегрирования, х считается параметром, а не функцией времени. Если правые части системы (75) суть аналитические по функции, то

в этом случае операция интегрирования в (89) — (92) может быть выполнена. Асимптотическая теория возмущений для неавтономных вращательных систем может быть ностроена, по крайней мере в принципе, в аналитическом виде.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление