Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.7. Асимптотическая теорйя автономных резонансных вращательных систем, использующая усреднение при постоянных возмущениях

Пусть выполняется условие резонанса (46) для некоторых к с нормой Проведем процедуру сглаживапия (48) с помощью оператора усреднения при постоянных возмущениях.. Тогда уравнения сравнения любого приближения запишутся в виде

Система сравнения (67) в отличие от (47) не содержит в явном виде а в суммах со штрихом индекс-вектор суммирования к принимает только резонансные значения. В резонансном случае в уравнениях (67) нет «разделения движений», как это имело место в § 1.11. Покажем, что, используя решение системы сравнения (67) в качестве первого приближения асимптотической теории возмущений системы (47), можно построить теорию любого приближения в тригонометрической форме, без вековых членов.

Будем искать преобразование Крылова — Боголюбова, преобразующее систему (47) в (67), в виде

Тогда система, определяющая функции имеет вид

В суммах с двумя штрихами к принимает только перезонансные значения.

Система (69)-(72) допускает последовательное решение, которое может быть выражено в аналитическом виде. Например, функции равны

Выражения (73) показывают, что в случае усредпепия по возможно определить первые члены преобразования Крылова — Боголюбова в тригонометрической форме, если положить Если продвинуться дальше и на каждом шаге итераций выбирать функции как средние значения по правых частей уравнений (71), (72), т. е. если их определять из равенств

а функции при приравнивать нулю, то возможно построить преобразование Крылова — Боголюбова в тригонометрической форме и для высших приближений. Чтобы получить асимптотические представления для решений первоначальной системы (47), необходимо подставить решение системы (67) и выражения вида (73) в формулы (68). Переход от переменных к первоначальным переменным х, у тривиален.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление