Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.6. Алгоритм сшивки резонансных и нерезонансных участков траекторий

Формулы (54) — (57) для функций указывают на то, что для приближенных решений первоначальной миогочастотной системы (1.90) мы будем иметь различные аналитические представления для различных моментов времени. Нуждаются в особом рассмотрении формулы (1.147), представляющие как раз асимптотические разложения для решения первопачальной системы (47), если заменить в (1.147) переменные х, у соответственно функциями являющимися решением сглаженной системы (1.118).

Разобьем временной отрезок для которого строится асимптотическая теория, на два множества:

а) временное резонансное множество состоящее из таких временных «отрезочков», для которых

где а — ширина резонансной зоны, левый и правый концы резонансного отрезка;

б) временное нерезонансное множество состоящее из таких временных «отрезочков», для которых

где левый и правый концы нерезонансного отрезка так как первый «отрезочек» является резонансным); . Очевидно, что

Таким образом, на множестве асимптотическая теория возмущений представляется формулами с вековыми членами, т. е. формулами вида (54), а на множестве -формулами вида (55).

Чтобы оба вариапта представляли решение системы (47), необходимо «сшить» эти выражения в точках Необходимо также «сшить» и выражения для производпых так как правые части уравнений (47) являются непрерывными функциями. Для реализации сшивки необходимо удовлетворить условиям вида

Условия сшивки (61) составляют систему из функциональных уравнений с неизвестными функциями и их частными производными Так как суть произвольные дифференцируемые по х функции есть -мерная, -мерная вектор-функции), то для того, чтобы сделать систему (61) совместной, следует ввести Неизвестных параметров. Например, можно в качестве компонент взять

и тогда система (61) сводится к двум подсистемам линейных алгебраических уравнений (одна — порядка с неизвестными вторая — порядка с неизвестными Решение этих систем — известная алгебраическая операция.

Системы вида (61) приходится решать всякий раз при переходе с резонансного отрезка на перезопанспый и наоборот.

Остается теперь задать число а, определяющее ширину резонансных зон, и моменты Йрез Последние существенно зависят от т. е. от промежутка времени, на котором строится асимптотическая теория.

Заметим также, что

где А — положительная постоянная, ограничивающая нормы в области их определения Если (например, то целесообразно в качестве а. брать величину например

Эта рекомендация вытекает из оценок, выводимых при обосновании метода усреднения для многочастотных систем, решения которых «не застревают» в окрестности какой-то резонансной точки [52].

Таким образом, мы считаем, что ширина резонансной зоны (или резонансная окрестность) равна Чтобы получить в силу того, что необходимо решить относительно уравнение

где k — резонансный вектор с наименьшей нормой. Обозначим решения уравнения (65) через

Тогда очевидно, что В окончательных формулах надо положить

Изложенный алгоритм построения асимптотической теории, основанной на усреднении по всем быстрым переменным, показывает, что преобразование Крылова — Боголюбова в форме (1.147) содержит быстро растущие относительно I функции, так как функции преобразования выражаются формулами вида (54), (55) на резонансных временных отрезках.

Отсюда можно заключить, что системы сравнения (1.118), построенные с помощью оператора усреднения

примененного к уравнению (47), не являются наилучшими для асимптотической теории, если вращательная система многочастотна и ее решение проходит через резонансные зоны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление