Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА I. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В НЕРЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМАХ

§ 1.1. Обобщенное уравнение метода усреднения

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений

где есть -мерпые векторы, некоторая -мерная область евклидова пространства - малый неотрицательный параметр.

Наряду с системой (1) зададим другую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

которую будем называть системой сравнения для системы (1). Вектор-функцию назовем функцией сравнения для (см. [17]).

Обычно уравнения сравнения строятся с помощью какого-либо оператора сглаживания (оператора усреднения).

Общая задача, которую предстоит решить, состоит в том, чтобы найти такую невырожденную дифференцируемую замену переменных которая преобразует систему (1) в систему сравнении (2). Расскажем коротко идею решения.

Пусть искомая замена перемеппых представляется в виде

Тогда справедливо дифферепциальпое тождество

и, пользуясь первоначальной системой (1) и системой сравнения (2), получаем то уравнение, которому должна удовлетворять неизвестная вектор-функция

Первое слагаемое в (4) представляет собой произведение мат

матрицы Икоби порядка на вектор-столбец Уравнение (4) назовем обобщенным уравнением метода усреднения или обобщенным уравнением Крылова — Боголюбова [17].

В координатной форме уравнение (4) имеет вид

К уравнениям (4) или (5) следует добавить начальные условия

Таким образом, замена переменных (3) определяется системой квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка с искомыми функциями и с начальными условиями (6).

Если преобразование (3) существует и не вырождено в некоторой области изменения переменных то в этой области уравнении (1) и (2) являются эквивалентными (равносильными).

Отыскание точных решений систем (2) и (4) является, правило, задачей такой же трудности, как и решение первоначальных уравнений, однако при построении приближенных решений уравнении (1) и в особенности уравнений (2) замена переменных и уравнение (4) могут оказаться, как будет показано ниже, весьма полезными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление