Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.5. Асимптотическая теория автономных резонансных вращательных систем, использующая усреднение но быстрым переменным

В этом случае

Уравнения сравпения любого приближения, полученные с помощью оператора усреднения записываются в виде

Для преобразования системы (47) в (1.118) следует воспользоваться заменой (1.121), а это значит, что уравнения в частных производных, определяющие функции в точности совпадают с уравнениями (1.122) — (1.127). Однако их решение будет отличаться от приведенного в § 1.11. Действительно, уравнение (1.128) в этом случае может быть написано в виде

где первая сумма включает члены, для которых (резонансные члены), вторая — нерезопансные члены. В практически нерезонансных системах, рассмотренных в § 1.11, первая сумма отсутствует.

Решение уравнения (50) из-за наличия первой суммы представляет собой сложную процедуру. Сначала допустим, что траектории системы (47) обладают свойством застревания в резонансной точке, т. е.

не только при но и при изменении В равенстве (51) вектор к принимает те же зпачепия, что и в первой сумме из (50). Тогда общее решение уравнения (50) может быть записано в виде

где произвольная дифференцируемая по 5; вектор-функция. Первое слагаемое в сумме (52) представляет собой вековой член, так как

Таким образом, если усреднение правых частей осуществляется с номощыо оператора и для некоторых векторов к выполняется резонансное соотношение (51), то в этом случае уже на первом шаге в преобразовании Крылова — Боголюбова появляются «неуничтожимые» вековые члены, и, следовательно, асимптотическая теория возмущений вращательных систем вида (1.90) в тригонометрической форме не может быть построена.

Теперь предположим, что резонансное соотношение (51) выполняется на дискретном множестве точек Тогда паписать выражение для и,(х, в виде одной формулы не представляется возможным. В этом случае будем иметь

и, следовательно, для преобразования Крылова — Боголюбова будем иметь два вида выражений: один — для резонансного случая (формула (54)), которое содержит вековой член, другой — для перезонанспых точек (формула (55)). Двоякое выражение для функции естественно порождает двоякое выражение для вектор-функции определяемой уравнением в частных производных (1.123), в которое следует подставить выражения (54) и (55).

В первом случае получаем

Во втором случае

Выражение (56) показывает, что уже в первом приближении в резонансном случае функция содержит вековой член вида так как а в нерезонаисном случае содержит вековой член вида если

Таким образом, получаем два варианта асимптотической теории возмущении: один — для резонансного случая, второй — для нерезонансного случая.

Такой метод интегрирования может быть применен и к уравнениям в частных производных (1.124) — (1.127); в результате можно получить аналитические (правда, весьма громоздкие) выражения для функций второго приближения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление