Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.3. Системы уравнений Ван-дер-Поля

Изучим математическую модель

где аналитические функции переменных в -мерном открытом шаре радиуса

Здесь к также является индексом-скаляром.

Ее частным случаем являются автономные и неавтономные осцилляторы Ван-дер-Поля, рассмотренные в гл. II. Будем называть систему (25) системой Ван-дер-Поля.

К одномерному уравпению вида

где аналитическая но и периодическая по функция, метод асимптотических рядов без вековых членов, по-видимому, впервые применил Линдштедт [88]. Идеи Линдштедта и предложенная им аналитическая форма решения были обобщены и развиты для случая гамильтоновых систем Пуанкаре [12]. Как и раньше, постоянные величины будем называть основными (или собственными) частотами, чтобы отличать их от частот, принадлежащих частотному спектру самих функций

В отличие от одномерного уравнения Ван-дер-Поля, здесь могут иметь место резонансные соотношения между частотами При порождающая система для (25) состоит из отдельных уравнений 2-го порядка

общее решение которой выражается известными формулами

где произвольные постоянные. Каждая функция является периодической функцией с периодом но общее решение (29) может быть как периодической, так и условно-периодической вектор-функцией времени [86, 89], и его характер определяется арифметическими свойствами вектора частот К решению (29) полностью применима геометрическая интерпретация, изложенная в предыдущем параграфе.

Пусть частоты рационально соизмеримы при векторе которого все компоненты отличны от нуля. В этом случае мы имеем по меньшей мере одно резонансное соотношение между основными частотами. Этот резонанс назовем простейшим; в силу неизменяемости частот он сохраняется для любого значения В таком случае общее решение (29) системы (28) является периодической функцией Если частоты рационально несоизмеримы, то решение (29) описывается условно-периодической вектор-функцией с частотами .

Таким образом, порождающая система (28) описывает периодическое пли условно-периодическое движение точки в -мерном пространстве (прямое произведение -мерного конфигурационного пространства на одномерпое временное пространство Ставится вопрос об исследовании движения точки, определяемого системой Ван-дер-Поля (25), в которой можно трактовать как малые возмущающие силы.

Для получения упрощенной системы, подобно Ван-дер-Полю, введем вместо неизвестных функций новые переменные

по формулам

Второе равенство означает, что на переменные наложены условия

С помощью новых функций систему (25) можно записать в виде

где аналитические функции переменных в шаре

Если ввести -мерпые векторы

то система (32) приводится к стандартному виду по Н. Н. Боголюбову

Соответствующая ей система сравпепия запишется в виде

где

К системам (33) и (34) применим в полном объеме асимптотический метод, изложенный в § 1.5, и, следовательно, можно построить асимптотическое представление для решения и оценить -малость с помощью теоремы Н. Н. Боголюбова. Для построения решения системы (33) можпо

применить итерационный метод, предложенный в работе

В отличие от классического метода последовательных приближений здесь для получения первого приближения необходимо знать решение усредненной системы что усложняет реализацию итераций. С другой стороны, этот итерационный метод имеет лучшие свойства сходимости [90].

Можно также искать решение системы (25) в виде

и в этом случае условия (31) запишутся с помощью равенств

С учетом этих условий имеем

Так как при амплитуды и фазы колебаний суть постоянные величины, формулы (35) дают решение с медленно изменяющимися амплитудами и фазами. Соотношения (35) и (36) составляют преобразование Ван-дер-Поля [57].

Одип из первых в хронологическом порядке вариантов асимптотической теории для уравнения типа Ван-дер-Поля основан на замене переменных вида

с -периодическими по функциями для отыскания решения уравнения

Величины как функции времени определяются в результате решения дифференциальных уравнений

Функции должны выбираться таким образом, чтобы выражение (37) после подстановки в пего решения системы (39) оказалось

бы решением уравнения (38). Замена (37) и уравнения (39) были впервые приведены в известной монографии Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [26].

Именно преобразование (37) находится у истоков асимптотической теории дифференциальных уравнений, использующей метод усреднения как средство сглаживания колебательных функций.

Справедливость -оценки для нормы для системы Ван-дер-Поля устанавливает

Теорема Гребеников [17]). Пусть:

1) вектор-функция непрерывна вместе со своей производной по в области являющейся прямым произведением -мерного открытого шара на ее евклидова норма удовлетворяет относительно условию Липшица с постоянной

является периодической функцией характеризуемой частотами любое вещественное положительное число, взаимно простые целые числа, или условно-периодической функцией состоящей из конечного числа гармоник,

при вместе со своей -окрестностъю.

Тогда для любых существует такое, что при имеет место оценка если

В [17] можно найти также теорему, в которой условие 2) заменено на условие Зигеля [91]: почти все (в смысле меры Лебега [92]) точки со -мерпого единичного куба удовлетворяют оценке

где -величина, зависящая только от Неравенство (42) говорит о том, что все точки, принадлежащие единичному кубу и имеющие рациональные координаты, а также те точки, координаты которых удовлетворяют противоположному (42) неравенству, образуют счетное множество.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление