Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.2. Геометрическая интерпретация решений многочастотных систем

Вернемся к порождающему решению (1.94)

мпогомерной многочастотной автономной вращательной системы (1.90) с -мерным вектором частот Ему можно дать наглядную геометрическую интерпретацию, предложенную, по-видимому, впервые Пуанкаре.

Тором (-мерным) называется, поверхность, образующаяся в результате прямого произведения окружностей (см. [86, 87]).

Рис. 5. Изображепие двумерного тора с радиусами Точка находится на поверхности тора

Рис. 6. «Горизонтальное» сечение двумерного тора

Рис. 7. «Поперечное» сечение двумерного тора

При мы получаем двумерный тор, который представляет собой не что иное, как «бублик» (рис. 5). Если обозначить через радиусы окружностей то в двумерпом торе радиус определяет размеры его «горизонтального» сечения (рис. 6), размеры «поперечного» сечения (рис. 7).

Положение любой точки на поверхности двумерного тора определяется двумя углами (долготой и широтой точки) На

поверхности -мерного тора положение любой точки определяется координатами-углами. Пусть теперь в системе (1.90) число медленных переменных х совпадает с числом быстрых переменных Тогда решение (1.94) можно представить как траекторию на -мерном торе. Величины (будем считать, что начальные значения отличны от нуля) можно рассматривать как радиусы окружностей ; следовательно, произведение определяет n-мерный тор. На этом торе введем угловых коордипат изменяющихся, согласно (1.94), линейным образом по Траектория тор, причем в зависимости от арифметических свойств вектора частот обмотка тора может быть всюду плотной (если частоты рационально не соизмеримы), или она «замкнется» после определенного количества оборотов (если частоты рационально соизмеримы).

Таким образом, в зависимости от арифметических свойств вектора частот траектория торе может быть представлена периодической функцией (если имеется резонанс частот) или условно-периодической функцией с частотами.

Приведенные соображения справедливы, если однажды вычисленные частоты в дальнейшем остаются постоянными, как это имеет место для порождающего решения (1.94). Если же предположить, что медленно изменяющая функция времени, то логически возможны такие варианты, когда резонансные и нерезонансные ситуации могут чередоваться, и, следовательно, некоторые участки траектории точки на торе будут периодическими, а другие — условно-периодическими функциями времени.

Например, пусть имеется гамильтонова система

где есть -мерный вектор импульсов, -мерный вектор обобщенных координат, а гамильтониан имеет вид

«Невозмущенный» гамильтониан задается равенством

где постоянная величина.

В представлении (15) будем считать, что являются положительными постоянными числами, а не зависят от

Гамильтонова система для певозмущеппой (при задали записывается в таком виде:

В этом параграфе через к обозначен индекс-скаляр. Очевидно, что система (16) допускает частное решение

При частное решение (17) совпадает с порождающим решением

Если являются радиусами окружностей соответственно то представляет собой двумерный тор в -мерном пространстве, или -мерный тор, у которого только два сечения суть окружности с отлйчными от пуля радиусами. Если к тому же и то мы полунаем одномерпьгй тор, т. е. обычную окружпость с радиусом -мерном пространстве. При решение (17) можно трактовать как движение точки на поверхности торз с долготой и широтой являющимися линейными функциями времени. Если частоты рационально не соизмеримы, т. е. целые числа), то

траектория не замыкается на торе и мы получаем всюду плотную обмотку тора (рис. 8). В этом случае решение (17) невозмущенной гамильтоновой системы описывает условно-периодическое движение точки на торе с двумя частотами. Если указанпые частоты рационально соизмеримы (имеет место резонанс частот), то после оборотов по долготе и оборотов по широте траектория точки на торе замкнется и мы получаем периодическое движение на торе.

Что же произойдет с описанной геометрической конструкцией, если к невозмущенному гамильтониану добавить возмущение

Рис. 8. Обмотка двумерного тора

Для наглядности рассмотрим простейший пример:

Тогда явный вид системы с гамильтонианом будет следующим:

Присоединим к этим уравнениям начальные условия

Система дифференциальных уравнений (20) с пачальпыми условиями (21) может быть точно проинтегрирована, и ее частное решение выражается формулами

В равенства (22) входят эллиптические функции Якоби с модулем и функции с модулем

Известно, что является периодической функцией, поэтому также будут периодическими. Функции являются «почти» линейными (с точностью до функциями времени, поэтому изменяются почти линейно. В пространстве переменных х, у движение точки изображается траекторией на периодически «пульсирующем» торе, этом угловых координат являются линейными функциями времени, а две угловые координаты почти линейными функциями времени.

Интересны приближенные (с точностью до ) формулы для движения на торе:

Таким образом, решение мпогочастотпой системы с медленными и быстрыми переменными может быть интерпретировано как движение точки на торе, размерность которого совпадает с размерностью вектора быстрых переменных у, а. сам тор является медленпо изменяющейся поверхностью, которая по истечении большого промежутка времени может, вообще говоря, стать вовсе не похожей на привычный нам тор.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление