Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА III. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМАХ

Исследование мпогочастотпых систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода усреднения имеет длительную историю. Вместе с тем только в последние два десятилетия математикам удалось решить принципиальные вопросы применимости и обоснования метода сглаживания, хотя его формальное применение к многочастотпым задачам небесной механики восходит еще к Гауссу. Трудности, которые возникают здесь при создании математической теории, состоят в том, что в процессе динамической эволюции механической или какой-либо другой системы траектория (решение) может пройти через резонансные точки или их малые окрестности, и в этом случае теоремы, приведенные в гл. I, неприменимы. Для резонансных систем приходится строить новые оценки для отклонений решений усреднепных уравнений и первоначальных уравнений, а также оценки для интервалов времени, на которых рассматривается -близость указанных решений. Этим вопросам уделим в этой главе основное внимание.

§ 3.1. Классификация частотных резонансов

Поведение решений многочастотных систем зависит не только от того, имеются или отсутствуют частотные резонансы вдоль траектории, определяемой многочастотпой системой дифференциальных уравнений вида (1.90), но и от того, какова норма целочисленного вектора к, для которого выполняется резонансное соотношение вида Для дальнейшего нам понадобятся некоторые определения [21, 85].

Пусть при некотором заданном наборе частот и некотором целочисленном векторе выполняется равенство

где а — некоторая достаточно малая неотрицательная величина, милость которой в каждой задаче должна быть оговорена. Например, выбор величины а в задачах небесной механики обсуждается в книге [21]. Если в данной задаче величина а считается

малой, то будем называть -реаонансом частот. В частности, точный нуль-резонанс получается при

Порядком -резонанса назовем число (норму)

Пусть существуют -резопансы с различными целочисленными векторами Будем называть -резонанс резонансом низшего порядка по сравнению с -резонансом если И наоборот, -резонанс является резонансом высшего порядка по сравпению с

Если то будем говорить о резонансах одинакового порядка.

-резонанс назовем резонансом наинизшего порядка по сравнению со всеми остальными -резонансами, если

Если для данного набора частот рассматривать всевозможные скалярные произведения для которых то очевидно, что они удовлетворяют одному из следующих неравенств:

Отрезок будем называть -резонансной полосой или -резонансной зоной.

В асимптотической теории дифференциальных уравнений большую роль играют при малых а неравенства вида (4), так как они порождают в асимптотических представлениях решений так называемые малые знаменатели [8, 12, 17, 31].

При интегрировании периодических или условно-периодических функций, представленных кратными рядами Фурье, изменение амплитуд отдельных гармоник зависит от двух факторов: от малости величины а, характеризующей резонанс частот, и от нормы целочисленного вектора к, присутствующего в резонансных соотношениях. Поясним это на примере.

Пусть в области задана раз дифференцируемая функция зависящая от аргументов Тогда ее фурье-представление имеет вид -кратного ряда

где

полная вариация фупкции в параллелепипеде периодов [10]. Для аналитической в

функции имеем оценку [4, 12]

Допустим теперь, что

где - некоторый числовой вектор. Такая линейная зависимость вектора у от времени имеет место, например, при нахождении порождающего решения для многочастотных вращательных систем. После подстановки (9) в ряд Фурье (0) получим либо периодическую функцию случае рациональной соизмеримости частот), либо условно-периодическую функцию (в случае несоизмеримости Интегрируя по получим

где штрихи у знака суммы означают, что индекс-вектор суммирования к принимает только нерезонапеные значения, т. е. такие, для которых Легко видеть, что

где свободный член ряда Фурье а величина появляется, лишь если имеются резонансные соотношения. Иными словами,

где к принимает лишь те значения, для которых

В сумме (12) наибольшими слагаемыми будут те для которых норма является наименьшей (см. (7), (8)), т. е. в коэффициеит векового члена наибольший вклад вносят резонаисы низших порядков и особенно релоиансы наинизших порядков (таких тоже может быть несколько, если число частот больше двух).

Таким образом, резонансные члены в рядах Фурье приводят к появлению дополнительных вековых слагаемых в интеграле (10) помимо «типичного» векового члена который присутствует, как правило, всегда (он отсутствует лишь в том случае, когда среднее значение на периоде равно пулю).

Представление (10) указывает также на то, что амплитуда гармоники равная зависит как от величины знаменателя так и от величины коэффициента Фурье При одном и том же значении та амплитуда окажется больше, для которой больше, а, следовательно, норма меньше, и наоборот.

Отсюда вытекает, что могут быть очень «острые» резонансы , но из-за большого значения их влияние на

решение «не ощущается», так как опо «гасится» числом С другой стороны, не очень «острый» резонанс частот благодаря небольшому значению (а следовательно, и относительно большому значению может оказать на решение большее влияние. Мы имеем дело со сложным механизмом одновременного и возрастания амплитуд благодаря возможному появлению малых знаменателей в асимптотическом представлении решения, и их затухания с ростом который приводит, вообще говоря, к убыванию

Именно этот сложный механизм проявляется при построении практически любого варианта асимптотической теории возмущений для многочастотных систем дифференциальных уравнений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление