Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.9. Метод асимптотических разложений в системах с N степенями свободы

Как известно [4, 83], основными уравнениями динамики, записанными в обобщенных координатах являются уравнения Лагранжа второго рода

где - кинетическая энергия механической системы с степенями свободы, обобщенные силы, действующие на систему. Лерный вектор характеризующий состояние механической системы в пространстве координат может, в частности, иметь своими компонентами обычные декартовы координаты точки и тогда Компонентами вектора х могут быть и любые другие применяемые в динамике обобщенные координаты.

Когда в механической системе имеются нестационарные связи, кинетическая энергия представляется в виде суммы

где квадратичная форма относительно производных

линейная форма относительно

То не зависит от скоростей

Обычно при достаточно большом в механических колебательных системах могут возникнуть резонапсные явления, однако существуют и такие модели, которые ведут себя как одночастотные. Здесь мы рассмотрим именно последний случай. В следующих главах будут рассмотрены многочастотлые системы.

Пусть движение колебательной системы с степенями свободы описывается системой нелинейных дифференциальных

уравнений с медленно меняющимися коэффициентами [84]

где время; медленное время; малый параметр; обобщенные координаты; некоторые функции, обладающие производными любого порядка при всех конечных значениях -периодические по функции, неограниченное число раз дифференцируемые при всех конечных значениях своих аргументов; неотрицательная дифференцируемая функция при всех конечных значениях Система (133) является частным случаем уравнений Лагранжа второго рода (128) в том смысле, что здесь кинетическая энергия зависит от медленного времени ее квадратичная часть не зависит от обобщенных координат отсутствует, форма является квадратичной относительно а обобщенные силы малы вместе с малым параметром Формализуя дальше запись, можно написать

где медлепно изменяющиеся матрицы порядка являются симметричными.

Наряду с возмущенной системой (133) будем рассматривать невозмущенную систему с постоянными коэффициентами [84]

получаемую из (сдвиг по на постоянную величину означает смещение начала отсчета медленного времени и не влияет на справедливость рассуждений). В частности, можно построить частные решения системы (136), соответствующие нормальным колебаниям вида

где некоторые постоянные, собственные частоты, определяемые уравнением

нетривиальные решения системы однородных алгебраических уравнений

обладающие свойством ортогональности

Величины и как и коэффициенты уравнений (136), зависят от параметра Если положить в уравнениях (136) и выражениях то функции (137) будут только приближенно (с точностью до величины порядка удовлетворять уравнениям (136), представляя собой функции с медленно изменяющимися амплитудами.

Перейдем теперь к построению асимптотических решений возмущенной системы (133), соответствующих одночастотным колебаниям, близким (при достаточно малых к одному из нормальных невозмущенных колебаний (137) (для определенности будем ориентироваться на первое уравнение). Допустим, что для всех значений параметра выполняются условия [84]:

1) в невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с частотой сот), зависящие только от двух произвольных постоянных;

2) единственным решением системы уравнепий (136), соответствующим положению равновесия в певозмущенной системе, является тривиальпое решение

3) в невозмущенной системе отсутствуют внутренние резонансы, т. е. где взаимно простые числа.

При этих допущениях и при наличии в возмущенпой системе комбинационного резонанса

будем искать решение уравнений возмущенной системы (133) в виде асимптотических рядов

в которых: функции -нериодические по и — взаимно простые числа; величины а и определяются из следующей системы дифференциальных уравпений:

где - -периодические

функции по Уравнения типа (142) неоднократно встречались выше и, как нам уже известно, дают возможность построить в любом приближении асимптотические представления для решений системы (133) по Крылову— Боголюбову.

После нахождения на первом этане коэффициентов асимптотических разложений асимптотическое решепие системы (133) в первом приближении имеет вид

где величины определяются из системы амплитудно-фазовых уравнений первого приближения

Уравнения, определяющие функции выводятся с помощью методики асимптотических разложений, многократно изложенной в первых параграфах этой главы. Они имеют вид

В уравнениях (145)

представляет собой удвоенную кинетическую энергию невозмущевной системы, в которой обобщенные скорости заменены на нормальные функции а силы заменяются приближенными значениями

Функции можно искать в виде частного -периодического по решения системы (145)

применяя метод неопределенных коэффициентов. После ряда несложных выкладок находим

Таким образом, с помощью метода асимптотических разложении мы нашли выражения (150) и (151) для т. е. построили амплитудно-фазовые уравнения (144) первого приближения, которые в последующем надлежит решить. Естественно, чтобы получить конкретные выражения для функций следует задать конкретные аналитические формулы для обобщенных сил Подставляя далее функции в формулы (143), мы получаем первое приближение для решения первоначальной возмущенной системы (133). Изложенная методика может быть применена для построения, высших "приближений к решению системы (133). Например, для построения второго приближения вместо уравнений (144) следует рассматривать систему

а для функций необходимо выписать уравнения в частных

производных вида (145) (заметим, что левые части уравнения (145) остаются без изменений). После определения функций и их подстановки в уравнения (152) можно найти второе приближение для функций следовательно, можно построить второе приближение (с точностью до для решения возмущенной системы (133).

В заключение сделаем два замечапия.

Замечание 1. Построенные приближенные решения системы (133) близки к одночастотным колебаниям с медленно изменяющейся частотой В принципе изложенная методика применима и к отысканию других одночастотных решений, если условие 1) справедливо для других частот.

Замечание 2. Наличие внутренних резопансов (имеет место условие где взаимно простые числа, а индекс к принимает по крайней мере одно из зпачений. существенно осложняет построение приближенных решений системы (133). В этом случае изложенная методика может оказаться неэффективной. Задача становится, по существу, многочастотной и резонансной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление