Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.8. Определение периода вращения планеты Меркурий вокруг своей оси

Одно из наиболее неожиданных открытий по динамике планет Солнечной системы — это установление нового значения для периода вращения Меркурия вокруг своей оси. До недавнего времени астрономы считали, что период вращения равен (точнее, приближенно равен) орбитальному периоду движения планеты вокруг Солнца, т. е. 88 суткам.

Рис. 4. Изображение вращательного движения Меркурия. линия апсид орбиты Меркурия; истинная аномалия вднтра масс Меркурия; угол, образованный большой полуосью планеты с прямой направление на Солнце;

Если ввести две частоты: среднюю угловую скорость Меркурия вокруг Солнца и среднюю угловую скорость вращательного движения Меркурия, — то, согласно прежним представлениям, имел место резонанс частот На самом деле получилась совсем иная картина. Период вращения Меркурия вокруг своей оси оказался равным 59 суткам, что соответствует резонансу частот Этот факт вытекает из более точной теории вращательного движения Меркурия, разработанной Голдрайхом и С. Пилом [82], основные момепты которой мы здесь излагаем.

Рассмотрим случай, когда ось вращения планеты перпендикулярна плоскости ее орбиты; именно этот случай подходит для описания вращения Меркурия.

Если ввести систему углов, изображенную на рис. 4, и через обозначить главные моменты инерции плапеты, рассматриваемой как твердое тело, то при некоторых разумных упрощениях для угла 6 получим следующее дифференциальное уравнение 2-го порядка [82]:

Здесь момент приливных сил, обусловленных притяжением со стороны Солнца планеты, рассматриваемой как тело, масса Солнца, постоянная тяготения, модуль радиус-вектора, истинная аномалия центра иперции Меркурия. Как видно из рис. 4, угол характеризует вращательное движение наибольшей из полуосей эллипсоида иперции в плоскости

орбиты относительно линии апсид, т. е. прямой, проходящей через перигелий и афелий орбиты Меркурия. Так как весьма сложным образом зависят от времени в соответствии с формулами задачи двух тел [7], дифференциальное уравнение (115) непосредственно не интегрируется, поэтому применим к нему метод усреднения.

Авторы работы [82] ввели сначала вместо искомой функции О повую функцию но формуле

где рациональпое число, равное половине целого числа, средняя аномалия (средпяя долгота) центра Меркурия [7, 82]. Для получается нелинейное дифференциальное уравнение

Оно, естественно, также не интегрируется. Так как для эллиптических орбит [7]

то для нахождения долгопериодических гармоник, содержащихся в функции следует выделить из нее такие слагаемые, которые с точностью до высших степеней эксцентриситета орбиты не содержат среднюю аномалию так как, согласно уравнению центра [7],

Эта операция равносильна усреднению функции по в пределах после замены истинной аномалии по формуле (119).

Полученное таким образом усредненпое уравнение, соответствующее (117), будет иметь вид

где усредненное на периоде значение момента приливных сил, коэффициент является степенным рядом но степеням эксцентриситета и имеет порядок а величина согласно третьему закону Кеплера [7], равна квадрату средней угловой скорости т. е.

При уравнение (120) принимает вид

и интегрируется в эллиптических функциях. Но при исследовании устойчивости вращательного движения планеты нас прежде всего интересуют его стационарные частные решения, каковыми являются

Напишем уравнения в вариациях для каждого случая отдельно. В первом случае будем иметь

а во втором

Так как знаки вторых слагаемых в (12-3), (126) противоположны, отсюда следует, что условие устойчивости частного решения является условием неустойчивости решения и наоборот.

Если теперь вернуться к случаю то критерием устойчивости найденных частных решений является выполнение неравенства

Используя эти оценки, а также орбитальные параметры Меркурия, Голдрайх и Нил нашли, что резонансное вращение с рациональным числом устойчиво, если главные моменты инерции планеты удовлетворяют неравенству

что может оказаться правдоподобным для внутренних нланет Солнечной системы, к которым относятся и Меркурий. Число и порождает период вращения Меркурия, равный 59 суткам, вместо прежнего, который считался равным 88 суткам.

В заключение отметим, что в исследовании [82] не строятся замены переменных вида (39) и усредненные уравнения высших приближений, как мы поступали в предыдущих параграфах, хотя в принципе описанные алгоритмы применимы и здесь. Однако в рамках теории первого приближения оба способа равносильны. Кроме того, отметим, что, хотя в начале мы говорили о двухчастотной резонансной задаче, на самом деле модельное уравнение (115) можно считать задачей с одной основной собственной частотой

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление