Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.7. Колебания крутильной системы под воздействием случайных помех

В § 2.6 мы рассмотрели двухчастотпую колебательную систему в однородном ноле тяжести. Здесь изучим движения более сложной (пятичастотной) колебательной системы, которая называется горизонтальными крутильными весами, или крутильной системой. Такая система представляет собой механический осциллятор, период крутильных колебаний которого определяется

упругими свойствами крутильной нити (жесткостью подвеса), моментом сил, действующим на коромысло в горизонтальной плоскости, и моментом инерции крутильной системы относительно оси нити (рис. 2). Этот высокочувствительный механизм применяется в самых разнообразных приложениях, прежде всего в гравитационных экспериментах, каковым, например, является классический эксперимент по определению гравитационной постоянной [73—75]. Математическая теория колебаний такой системы далека от полного завершения, хотя в ней сделано довольно много [76, 77]. Здесь мы изложим новую методику и результаты, полученные В. К. Милюковым [78, 79].

Для описания математической модели крутильных весов целесообразно ввести следующие системы координат [78, 79] (рис. 3):

Рис. 2. Изображение крутильной системы

Рис. 3. Системы координат

1. Неподвижную геоцентрическую декартову систему координат ось аппликат которой перпендикулярна земной поверхности (на рис. 3 она не изображена).

2. Подвижную декартову систему координат с осями, параллельными осям системы и началом в точке подвеса

О крутильной системы. Координаты точки О в системе координат обозначим через где постоянные величины, случайные смещения.

3. Подвижную систему координат с началом в центре масс крутильной системы и осями, параллельными осям

4. Подвижную систему координат жестко связанную с крутильной системой и с осями, направленными по главным осям инерции коромысла.

В качестве обобщенных лагранжевых координатах выбираются следующие углы: угол поворота вокруг оси

угол поворота вокруг оси после поворота на поворота оси после поворота на регулярная функция, - случайная функция); - угол поворота вокруг оси угол поворота вокруг оси рис. 3 видно, что углы поворота характеризуют колебания типа маятниковых (колебания с относительно большими частотами), а угол характеризует крутильные колебания системы (колебания с относительно небольшой частотой).

Тогда кинетическая энергия крутильных весов представляется формулой

координаты центра масс; общая масса крутильной системы; ее главные моменты инерции; проекции соответственно на подвижные оси вектора угловой скорости вращения крутильных весов вокруг оси проходящей через центр инерции.

Потенциальная энергия весов в неоднородном гравитационном поле представляется в виде разложения формулой

где ускорение силы тяжести; коэффициент эквивалентная жесткость крутильного маятника, состоящая из жесткости подвеса и гравитационной жесткости обусловленной градиентом гравитационного поля в лаборатории; остальные коэффициенты обусловлены главным образом нелинейностью момента гравитационных сил, так как момент упругих сил достаточно точно описывается (линейным) законом Гука.

Диссипация энергии может быть описана функцией вида

в которой коэффициенты зависят от многих физических факторов.

Движение горизонтальных крутильных весов в неоднородном - симметричном гравитационном поле при наличии флуктуационного воздействия описывается системой нелинейных стохастических дифференциальных уравнений вида [78]

где длина крутильной нити, расстояние от центра масс крутильной системы до точки крепления коромысла к нити. Производные случайных функций определяются [80] как случайные функции непрерывного аргумента, представляющие континуальное множество детерминированных, дважды дифференцируемых функций.

Упростим несколько модель крутильных весов. Пусть (гравитационное поле однородно), (отсутствуют случайные смещения точки подвеса) и (отсутствуют регулярные крутильные колебания системы). Тогда первое, второе, четвертое и пятое уравнепия системы (101), т. е. уравнения, описывающие маятниковые колебания, становятся линейными с постоянными коэффициентами, и их точное решение не представляет трудностей. После этого третье уравнение системы (101) становится нелинейным уравнением с переменными коэффициентами, точное решение которого в аналитическом виде не удается найти. В данном случае оно не зависит от других уравнений системы, и его следует решать каким-либо приближенным методом. В общем случае такое расщепление системы (101) не имеет места, поэтому нахождение ее приближенного решения также представляет собой достаточно сложную задачу. Остроумный метод ее решения, основанный на условном расщеплении системы в сочетании с методом усреднения, предложил Милюков [78]. Суть его состоит в следующем. Составим две подсистемы уравнений: первое и четвертое уравнения системы (101) и второе и пятое уравнения. Эти подсистемы описывают маятниковые колебания весов в двух вертикальных плоскостях. После того как в результате решения этих подсистем найдены функции далее решается третье уравнение системы (101), которое описывает крутильные колебания.

Следуя изложенной идее, выпишем сначала подсистемы

В подсистеме (102) неизвестными считаются функции функции

Последние слагаемые в правых частях первых уравнений подсистем (102), (103) в гравиметрии можно трактовать как регулярные вынуждающие силы, в амплитудах которых играет роль медленно меняющегося множителя, так как для крутильных весов рассматриваемого типа частоты маятниковых колебаний много меньше частоты крутильных колебаний, т. е. где через обозначены любая из частот соответственно маятниковых и крутильных колебаний. При таких допущениях подсистемы (102), (103) становятся линейными, и алгоритм их решения хорошо известен:

1) находим общее решение однородной подсистемы;

2) находим частное решение неоднородной подсистемы, обусловленное наличием в правых частях случайных колебаний;

3) имея значения функций в результате осуществления первых двух этапов, вычисляем их производные и заменяем их в последних слагаемых первых уравнений подсистем (102), (103); далее находим второе частное решение, так как слагаемые уже известны.

Таким образом, решение указанных подсистем для каждой маятниковой координаты представляются суммой Стационарных случайных квазигармонических колебаний всех маятниковых частот с флуктуирующими амплитудами и фазами:

Безразмерные коэффициенты характеризуют геометрию весов. Собственные маятниковые частоты определяются выражениями

Случайный характер огибающих амплитуд квазигармонических колебаний и фаз обусловлен действующим на подвес системы шумом. При этом, если шум распределен по нормальному закону, то значения фазы равновероятны в интервале [81], а среднее значение огибающей равно

где

число спектральная плотность шумов действующих в некоторой изучаемой полосе частот, коэффициенты затухания маятниковых колебаний (для простоты считается, что шумы имеют одинаковую спектральную плотность)

По аналогии с гармоническими колебаниями два первых слагаемых в каждом выражении (104) можно рассматривать как собственные маятниковые колебания, а два последних — как результат нелинейной связи с маятниковыми колебаниями в другой плоскости и крутильными колебаниями. Решения для мы выписывать не будем, так как при дальнейшем рассмотрении они не понадобятся.

Рассмотрим теперь третье уравнение (101), описывающее крутильные колебания:

Здесь правая часть является пелипейной комбинацией функций и и их производпых. Из (101) и (108) видно, что слагаемые в правой части — двух типов: 1) содержащие произведения маятниковых и крутильной координат и 2) содержащие только маятниковые координаты. Так как для крутильных весов, выполненных в виде гантели, удовлетворяются условия и в слагаемых первого тина произведения маятниковых колебаний можно рассматривать как быстро осциллирующие коэффициенты при различных степенях Поэтому заменим эти осциллирующие коэффициенты и слагаемые второго тина их средними значениями, оставив

неусредпенными только колебания на наиболее низких комбинационных маятниковых частотах.

В результате такого усреднения правой части и некоторых стандартных преобразований уравнение (108) приводится к виду [78]

где введены обозначения: - невозмущепная частота крутильных колебаний; - комбинационные маятниковые частоты;

Уравнение (109) является нелинейным (содержит члены с неавтономным (содержит сумму квазигармонических колебаний разных частот), стохастическим (содержит случайную величину Его решение (точнее, два первых приближения) можно получить методом усреднения Крылова — Боголюбова. Первое приближение для решения уравнения (109) представляет собой квазигармопические колебания с флуктуирующими амплитудой и фазой, частота которых сдвинута по отношению к невозмущенной частоте

где начальные значения амплитуды и фазы крутильных колебаний, а флуктуационные члены определяются выражениями

Решение улучшенного первого приближения содержит, помимо основной гармоники, гармонику третьей кратности и

вынужденные колебания на комбинационных маятниковых частотах:

где определены выражениями первого приближения.

Решение уравнения (109) во втором приближении имеет вид улучшенного первого приближения, в которое подставлена частота колебаний второго приближения:

Отметим, что в отличие от квазигармонических маятниковых колебаний, которые являются стационарным процессом, квазигармонические крутильные колебания следует рассматривать как нестационарный переходный процесс, поэтому все статические и спектральные характеристики крутильных колебаний в общем случае будут функциями времени наблюдения.

Согласно теории метода усреднения [17, 29], решение каждого приближения аппроксимирует решение исходного уравнения с точностью до значений, пропорциональных соответствующим Степеням малых параметров Так, решения второго приближения учитывают члены, пропорциональные 83. Численное значение тих членов определяется конкретными условиями эксперимента. Оценка точности полученных решений для экспериментальной установки по определению гравитационной постоянной показывает [78, 79], что решение первого приближения для частоты крутильных колебаний учитывает члены, отношение которых к невозмущенной частоте имеет порядок Решение второго приближения учитывает Члены, аналогичное отношение которых Таким образом, на современном ятапе определения гравитационной постоянной в большинстве экспериментов, по-видимому, достаточно пользоваться решением первого приближения.

В заключение отметим, что этот важный для гравиметрии результат получен с помощью специфической процедуры усреднения нелинейного дифференциального уравнения (108), задача математического обоснования которого ждет еще своегу решения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление