Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.6. Устойчивость колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса

Дифференциальное уравнение, описывающее колебания физического маятника приведенной длины I в вертикальной плоскости и в однородном ноле силы тяжести (с ускорением точка подвеса которого совершает в вертикальном направлении синусоидальные колебания с малой амплитудой и частотой со (рис. 1), имеет вид [70]

Исследования уравнения (78), выполненные II. II. Боголюбовым [70], привели к открытию неожиданного эффекта, а именно к устойчивости верхнего положения маятника, при котором центр тяжести маятника располагается над точкой подвеса.

Уравнение (78) нанисано при условии, что затухание колебаний пропорционально скорости с коэффициентом затухания Есди считать, что (амплитуда колебаний точки подвеса намного меньше приведенной длины маятника), то можно ввести для удобства записи малый параметр

«новое» время

и параметры

(параметры к, I считаются меньше единицы). Тогда уравнение (78) запишется в виде

Рис. 1. Изображение физического маятника с вибрирующей в вертикальном направлении точкой подвеса А

При уравнение (82) превращается в равенство а не в равепство поэтому стандартный алгоритм, эффективно примененный в предыдущих параграфах, здесь не может быть использован.

Для приведения к стандартной в смысле Боголюбова форме уравнения (82) воспользуемся заменой переменных в виде

В повых переменных будем иметь систему

эквивалентную уравнению (82).

Разложение правых частей (84) в ряд по степеням дает стандартную в смысле Боголюбова систему

Система (85) является неавтономной, поэтому построим усредненную автономную систему любого приближения с помощью оператора усреднения по

Замену, осуществляющую преобразование будем искать в виде неавтономного преобразования Крылова — Боголюбова (39):

Уравнения, определяющие функции записываются следующим образом:

Уравнения (87) последовательно можно проинтегрировать, а выбор функций однозначен: они должны выбираться таким образом, чтобы средние по значения

правых частей уравнений (87) были равны нулю. В результате интегрирования получим (произвольные функции полагаем равными нулю)

Таким образом, преобразование тина (39), переводящее неавтономную систему (85) в автономную любого приближения (86), найдено.

Выпишем теперь автономную систему первого приближения:

В предыдущих примерах удавалось проинтегрировать в классе периодических функций уравнение не только нервого, но и любого высшего приближения. К сожалению, в случае колебаний маятника уравнения первого приближения (89) не удается проинтегрировать, если (т. е. если учитываются силы трения), хотя при они интегрируются в эллиптических функциях.

Рассмотрим все же случай Легко проверить, что система (89) допускает частное стационарпое решение

Геометрически значению соответствует верхнее положение

маятника, так как из формул (79) и (88) вытекает, что

Но из формул (83) сразу вытекает, что при этом значении а угол х равен

Изучим устойчивость частного решения (90). Введем малые отклонения по формулам

Уравнения в вариациях для системы (89) имеют вид

Чтобы исследовать устойчивость решения (90), выпишем матрицу коэффициентов правой части системы (93), которая имеет вид

Ее собственные значения определяются из квадратного уравнения

Так как из (95) следует, что при

оба собственных значения имеют отрицательные вещественные части. Неравенство (96) с учетом (81) дает

Таким образом, если частота вибраций точки подвеса достаточно велика, верхнее положение маятника становится устойчивым но меньшей мере в нервом приближении. Уравнения второго приближения для колебаний маятника также изучены, и в этом случае получены [71, 72] достаточные условия устойчивости квазистатических решений этих уравнений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление