Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.5. Уравнение Матье

У равнением Матье называется уравнение

К нему добавим начальные условия

Следуя уже описанным алгоритмам, будем искать периодическое или квазипериодическое решение уравнения Матье с помощью метода Крылова — Боголюбова. После применения преобразования (29) получаем эквивалентную (63) систему

с начальными условиями

Применяем теперь к- системе (65) неавтономное преобразование Крылова — Боголюбова (39), которое преобразовывает систему (65) в систему (15):

Для функций получаем следующую систему уравнений в частных производных:

Система (67) допускает последовательное интегрирование, и ее решение можно выразить через тригонометрические функции аргументов если собственная частота не является целым числом и величины выбраны как средние значения правых частей уравнений (67) по Из этих условий сразу получаем

Интегрирование первых двух уравнений (67) дает

Из третьего и четвертого уравнений (67) с учетом (68), (69) получаем

их интегрирование дает

Методом индукции можно показать, что следовательно,

Величины а и определяются в результате решения системы функциональных уравнений

Из второго уравнения (15) получаем

Таким образом, формулы

в которых

вычисляется но формуле (75)), дают, вообще говоря, квазипериодичское решение исходного уравнения Матье (63).

В заключение заметим, что уравнения Ван-дер-Поля, Дюффинга и Матье с самых различных сторон изучались многими другими математиками [63—69]. Мы же на этих конкретных примерах лишь продемонстрировали достаточно хорошую эффективность преобразования Крылова — Боголюбова.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление