Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВВЕДЕНИЕ

§ 0.1. Основные обозначения

Приведем сначала наиболее часто встречающиеся в книге обозначения и некоторые к ним пояснения.

1. Обозначим евклидово вещественное пространство размерности символом а унитарное комплексное пространство — сим иолом В качестве норм в векторных пространствах и можно взять одну из следующих величин [1, 2]:

Утверждения, касающиеся норм и приведенные ниже в ходе изложения материала, справедливы для всех трех норм.

2. и представляют -мерную и -мерную области эвклидовых пространств и и соответственно. Индекс указывают на размерность области или пространства.

3. Прямое (декартово) произведение двух областей будем обозначать

4. Время всегда принадлежит или

5. Всюду означает малый неотрицательный параметр, кроме гл. V, где означает векторный целочисленный индекс.

6. Символ означает одностороннее преобразование (замену), а символ соответствует двустороннему (прямому и обратному) преобразованию. Например, и др.

7. Скалярное произведение двух -мерных вектор-строк всюду обозначается общепринятым символом и, следовательно,

Аналогично определяется скалярное произведение двух -мерных вектор-столбцов и скалярное произведение целочисленной.

-мерной вектор-строки на -мерную вектор-строку

8. Норма целочисленного -мерного вектора определяется по формуле

Норма мнимой части -мерпого комплексного вектора определяется формулой

9. Если -мерная вектор-функция зависит от -мерного вектор-аргумента то представляет собой матрицу Якоби порядка [3, 4]

10. Произведение матрицы на -мсрный вектор будем обозначать Символом

В гл. V символом обозначены скобки Пуассона. Таким образом, символы используются для обозначения трех операций: скалярного произведения двух векторов, произведения матрицы на вектор и скобок Пуассона.

11. Ряд Фурье -периодической функции -мерного аргумента всюду будем записывать в комплексной форме [5, 6]:

Будем считать, что ото разложение имеет место в областп с К, такой, что веществепное число.

12. Операторы усреднения (сглаживания) обозначены символом Индекс указывает на те переменные, по которым выполняется процедура усреднения; например, означает «оператор усреднения по времени

13. Черточка над буквенными символами всюду означает усредненное значение функции, переменной, или решение усредненных (сглаженных) уравнений. Например, если через обозначено решение какого-либо уравнения, то через будем всюду обозначать решение соответствующего усредненного уравпепия. есть некоторое «среднее» значение функции

14. Всюду, за исключением §§ 4.1-4.5, -мерный вектор означает вектор осповных частот дифференциальных уравнепий. Основные частоты могут быть как постоянными, так и фукциями соответствующих аргументов. В

задачах небесной механики традиционно через со обозначается «угловое расстояние перицентра от узла» [7, 8].

15. Аналитическую и -иериодическую к области функцию часто удобно представлять в виде

где

16. В задачах динамики используются, как правило, следующие пространства: а) трехмерное евклидово пространство с метрикой, определенной в [1], и нормой из б) одномерное евклидово пространство изображающее либо одну из координат, либо время Пространство называется координатным евклидовым пространством, а однопараметрический геометрический образ движения в можно назвать траекторией. Наряду с этими пространствами в механике и физике используется четырехмерное пространство [9] (трехмерное евклидово пространство и одномерное временное пространство которое может быть названо четырехмерным координатным про странством (так называемые четырехмерные системы отсчета, галилеев пространственно временной континуум, лоренцев пространственно временной континуум и др.

График движения в четырехмерном пространстве называется: мировой линией. В пространство движение механической системы изображается траекториями, а в четырехмерном пространстве — мировыми линиями.

Конфигурационное пространство для механической системы точек — это пространство, измерениями которого являются таким образом, размерность его равна В механической терминологии конфигурационное пространство — это пространство обобщенных лагранжевых координат [4]. Строгое математическое определение конфигурационного пространства можно найти в [9]. Фазовое пространство — это пространство координат и скоростей (или импульсов). Для механической системы материальных точек с декартовыми координатами размерность фазового пространства равна Если математическая модель описывается системой дифференциальных уравнений 1-го порядка (каноническими системами, стандартными в смысле Боголюбова системами, многочастотными системами с медленными и быстрыми движениями и др.), то мы решаем задачу в фазовом пространстве. Если изучаются основные уравнения динамики (уравнения Лагранжа 2-го рода, которые являются дифференциальными

уравнениями 2-го порядка для обобщенных лагранжевых координат), можно считать, что мы «погружаем» задачу или в евклидово трехмерное пространство, или в четырехмерное пространство, или, наконец, в конфигурационное пространство.

§ 0.2. Асимптотические представления и ряды. Их свойства

Наиболее распространенным конструктивным средством аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений можно считать асимптотические представления и асимптотические ряды, поэтому представляется целесообразным привести здесь их основные свойства [12—14].

Рассмотрим бесконечный степенной ряд вида

каждый члеп которого определен в

Обозначим его частичную сумму через

Если в существует функция такая, что для любого имеет место предельное соотношение

то будем говорить, что ряд (1) является асимптотическим представлением функции в Пуанкаре [12] предложил для этого определения пользоваться символом тождественного равенства

и назвал такие соотношения асимптотическими равенствами. Ряд вида (1) может быть назван также асимптотическим рядом в

Всякий сходящийся степенной ряд, естественно, является асимптотическим рядом. Обратное утверждение, очевидно, неверно. Для асимптотического ряда характерно то, что, несмотря на возможную его расходимость, сумма первых его членов

достаточно хорошо аппроксимирует функцию при малых впачениях Из приведенного определения вытекают равенства

Два асимптотических равепства можно складывать и умножать, т. е. если

то

причем

Асимптотические равенства (4) можно почленно интегрировать (пели каждое слагаемое асимптотического ряда (1) является интегрируемой фупкцией); имеет место асимптотическое равенство

Почленно дифференцировать асимптотическое равенство (4), диже если каждый член ряда (1). является дифференцируемой функцией, вообще говоря, нельзя. Иными словами, ряд

и функция могут быть такими, что асимптотическое равенство

не имеет места. Вместе с тем, как показал Пуанкаре, асимптотическими равенствами вида (14) можно пользоваться при построении решений дифференциальных уравнений.

Пусть дифференцируемая по функция является одним из решений дифференциального уравнения

а ряд

удовлетворяет ему формально (безотносительно к тому, сходится или расходится). Напишем теперь асимптотическое равенства

Тогда можно утверждать по [12], что

Весьма важным свойством асимптотических представлений является асимптотическое равенство для сложной функции. Оно формулируется следующим образом.

Пусть фукция аналитична [15] в некоторой окрестности точки Предположим, что имеется асимптотическое равенство

Если подставим ряд (19) вместо в функцию и выполним все разложения по степеням то получим выражение

Тогда имеет место асимптотическое равенство

Приведенные выше определение, свойства и соотношения легко перепосятся на случай функций многих переменных, когда является -мерным аргументом: Свойства (9), (10), (20) очевидны. Что касается асимптотических равенств (13), (18), то они в этом случае также могут быть написаны. Разница лишь в том, что интеграл в (13) можно понимать как однократный, двойной и, вообще, -кратный, если при этом каждый члеп ряда (1) интегрируем но одной, двум и, вообще,

переменным в соответствующих областях, а производную следует понимать как частную производную

Известно лишь небольшое число нелинейпых обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых можно построить в виде сходящихся степенных рядов. Можно назвать в первую очередь ряды, построенные Ляпуновым [16] при решении уравнений Хилла. Пуанкаре показал, что в большинстве задач динамики ряды, формально удовлетворяющие уравнениям динамики и зависящие от времени и малого параметра являются расходящимися в классическом определении, по тем не менее, будучи асимптотическими, позволяют выписать в явной форме приближенные решения этих уравнений.

§ 0.3. Основной объект исследования

В качестве математических моделей для колебательных явлении, как правило, можно рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения (обыкновенные или в частных производных), правые части которых зависят периодическим образом от лсех или некоторых искомых функций и времени.

Основная математическая модель, исследуемая в данной книге, имеет вид

некоторые -мерные векторы еиклндова пространства вещественное время, малый неотрицательный параметр.

Система (21) предполагается удовлетворяющей осповным теоремам теории дифферепциальпых уравнений (теореме существо Минин и единственности решения и др.).

Рассматриваем следующие случаи:

1) правая часть имеет иптегралъяое среднее, по

2) если вектор-функция не зависит явным образом от то она должна быть -периодической или по всем компонентам ликтора или по части из них;

3) возможно объединение свойств 1) и 2).

К дифференциальным уравнениям вида (21) со свойствами относятся следующие классы дифференциальных уравнений: стандартные в смысле Н. Н. Боголюбова системы, системы с медленными и быстрыми переменными (в частности, вращательные системы), сильно возмущенные системы. Особое место среди них занимают так называемые резонансные системы.

Для создания конструктивной теории решения уравнений существенной является зависимость от малого параметра Функции может быть регулярной по в окрестности точки или сингулярной в этой точке. В зависимости от отого разработаны и два варианта теории возмущений со своим

специфическим аппаратом, со своими математическими конструкциями и теорией.

Почти всюду мы будем исследовать решения системы (21) с регулярными по (чаще всего аналитическими) правыми частями, и лишь в одпом параграфе (§ 3.9) рассматривается сингулярный случай.

Характер зависимости от определяет форму и аппарат теории возмущений, применяемые для построения приближенных решений системы (21). В регулярном случае решения системы (21) ищутся в виде асимптотических рядов (10), и здесь в принципе находит нримепепие все ценное, что создано выдающимися математиками в аналитической теории дифференциальных уравнений.

§ 0.4. Краткое содержание книги

Глава I посвящена различным аспектам асимптотической теории дифференциальных уравнений с малым параметром, основанной на идее усреднения (сглаживания) правых частей. Приведено обобщенное уравнение и дана интерпретация метода усреднения, а также описаны наиболее распространенные в динамике операторы сглаживания, позволяющие строить различные варианты теории возмущений по степеням малого параметра Дальше в этой главе рассмотрены различные классы нелинейных систем без частотных резопансов и изложена конструктивная методика построепия их асимптотических решений с помощью преобразования Крылова — Боголюбова.

Конечной целью содержания гл. II является построение в явном виде преобразования Крылова — Боголюбова, которое дает приближенное (асимптотическое) решение конкретных задач теории нелинейных колебаний. Выполнение читателем необходимых при этом аналитических операций служит, на наш взгляд, гарантией уверенного овладения тем богатым математическим аппаратом, который имеется сейчас в теории нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

В гл. III изложена асимптотическая теория применительно к резонансным системам дифференциальных уравпений.

Основная трудность, которая возникает при построении асимптотической теории возмущений для резопапсных систем, состоит в том, что возмущения любого порядка (возмущение порядка пропорционально из-за возможного появления в аналитических формулах «малых знаменателей» могут достигнуть, вообще говоря, сколь угодно большой величины при сколь угодно малом значении (можпо считать, что «резонансная система» и «малые знаменатели» являются синонимами). Несмотря на эти трудности, удается построить эффективные алгоритмы для теории возмущений нелинейпых систем с частотными

резонансамими, основанные на синтезе оптимальных процедур усреднения и преобразования Крылова — Боголюбова.

И последнем параграфе гл. III кратко изложены некоторые результаты из теории сингулярно возмущенных уравнений. Эти реиультиды берут начало в идеях Л. С. Понтрягина, и им свойственна весьма высокая степень законченности. Этим, в сущности, и обусловлен наш выбор.

Глава IV соотносится с гл. III примерно так же, как гл. II — с гл. I. Ее содержание включает те задачи, которые по существу и вызвали появление пока еще незавершенной математической теории резонансных систем. Хотя эти задачи и взяты из различных областей естествознания, они описываются схожими нелинейными математическими моделями, в которых возможны резонансы между основными частотами. Последние два параграфа содержат алгоритмы построения приближенных решений нелинейных уравнений, специально разработанные для ЭВМ.

Глава V занимает особое положение. Есть много удачных изданий, посвященных теории канонических систем. Тем не менее чувствуется и определенный дефицит в изданиях из серии «Справочная математическая библиотека» и «Библиотека программиста», содержащих изложение явных процедур и алгоритмом теории канонических преобразований. В последние годы появились новые конструктивные идеи, использующие большие возможности программирования и ЭВМ в теории гамильтоновых систем. Это в первую очередь касается наиболее сложной проблемы — проблемы устойчивости равновесных решений гамильтоновых систем, нормализации гамильтонианов и построения канонических преобразований. Новые процедуры и алгоритмы гамильтоновой теории составляют содержание последней главы книги.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление