Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.4. Уравнение Дюффинга

Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

называется автономным уравнением Дюффинга. Зададим начальные условия

И применим к (48) сначала преобразование (29). Получим

Система (50) эквивалентна уравнению Дюффинга (48), содержит медленную переменную а и быструю фазу поэтому, как и

в случае осциллятора Ван-дер-Поля, будем искать замену переменных вида (14):

которая преобразовывает систему (50) в систему сравнения (15). Бесконечномерная система, в которой искомыми функциями являются имеет вид

Решение системы (51) можно получить способом, изложенным в § 2.2. Для уничтожения непериодических членов в правых частях первых двух уравнений системы (15) необходимо положить

Интегрируя первое уравнение системы (51), получим

Подставляя выражения (52), (53) в третье уравнение системы (51), находим

Аналогично находим

Методом индукции можно показать, что если т. е. первое уравнение системы (15) с любой точностью относительно принимает вид

и в результате интегрирования получаем

Отсюда сразу вытекает, что правая часть второго уравнения (15) равна постоянной с любой относительно точностью и

Таким образом, преобразование Крылова — Боголюбова (14) выражается с помощью -нериодических функций относительно а формулы (29) дают решение первоначального автономного уравнения Дюффинга с периодом по

Рассмотрим теперь неавтономное уравнение Дюффинга

Испцльзуя преобразование (29), вместо уравнения (61) полу-» чаем систему

К системе (62) следует применять неавтономное преобразование Крылова — Боголюбова (39), которое переводит (62) либо в систему (15), либо в систему (40). Не повторяя выкладки § 2.3, укажем лишь, что и в атом случае если только частота возбуждения К и собственная частота рационально несоизмеримы. В этом случае получаем квазипериодическое по решение уравнения Дюффинга (61), так как функции будут, вообще говоря, квазипериодическими функциями Можно показать, что осуществление преобразования

(62)- (40) не приводит к равновесному решению вида (59), так как в этом случае функции уже не обращаются в нуль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление