Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.3. Неавтономный осциллятор Ван-дер-Поля

Неавтономный осциллятор Ван-дер-Поля описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка

где k — частота возбуждения, к — положительный параметр. Предполагается, что

т. е. собственная частота колебаний и частота возбуждения мало отличаются между собой. Начальные условия запишем в виде

С помощью преобразования (29) осциллятор (36) приводится к эквивалентной системе двух уравнений первого порядка

Для отыскания периодических решений уравнения (86) здесь также можно применить общую методику усреднения с той разницей, что замена переменных Крылова — Боголюбова должна быть неавтономной. Будем искать ее в виде

и будем требовать, чтобы она преобразовывала систему (38) либо в систему (15)

либо в систему

1. Преобразование Для этого преобразования получаем следующую бесконечномерную систему уравнений в частных производных:

Вычисляя как средние значения правых частей

уравнений (41) по и получим

Подставляя (42), (43) в первые два уравнения системы (41), в результате интегрирования будем иметь

Чтобы не нарушать тригонометрическую форму преобразования Крылова — Боголюбова, мы сразу положили в формулах (44), (45) произвольные функции возникающие при интегрировании, равными нулю. Заметим, что в функции имеется «большое» слагаемое порядка так как выполняется условие (37), поэтому может достичь величины порядка

Алгоритм вычисления с помощью формул типа (42), (43) и интегрирование уравнений (41) могут быть применены на следующих шагах итерационного метода, и таким образом можно вычислить любую из функций преобразования а также Эти выражения весьма громоздки, поэтому их приводить здесь мы не будем, по отметим, что на любом шаге выражаются через тригонометрические функции аргументов

2. Преобразование Для этого преобразования получаем ту же бесконечномерную систему уравнений (41) с той лишь разницей, что вместо следует написать

Функции вычисляются из того условия, что средние вначения по правых частей уравнений (41) должны быть равны пулю. Например,

В таком случае решение первых двух уравнений системы имеет вид

Преобразование можно считать более эффективным, так как система (15) расщепляется на два уравпения, интегрируемые отдельно. Система (40) не обладает таким свойством.

В заключение отметим, что, хотя преобразование Крылова — Боголюбова (39) имеет тригонометрическую форму, тем не менее некоторые члены рядов (39) могут достичь больших значений по абсолютной величине из-за наличия условия (37). Это условие обусловливает появление малых знаменателей вида в выражениях для и больших периодов в тригонометрических функциях. Если то такие явления не наблюдаются. Кроме того, для неавтономного осциллятора Ван-дер-Поля преобразование Крылова — Боголюбова дает квазипериодическое относительно решение, так как в случае рациональной несоизмеримости функции будут, вообще говоря, квазипериодическими функциями времепи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление