Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.2. Автономный осциллятор Ван-дер-Поля

Автономный осциллятор Ван-дер-Поля описывается нелинейным дифференциальным уравнением 2-го порядка

где собственная частота колебаний, малый положительный Параметр. Начальные условия запишем в виде

К примеру, уравнения вида (9) описывают изменения сильг тока в ламповых генераторах с колебательным контуром. Тогда величина со представляет собой собственную частоту

колебательного контура лампового генератора, малый нараметр, характеризующий величину связи контура с электронной лампой, сила тока. Достаточно подробные исследования различных моделей таких электрических устройств и их математических моделей можно найти в капитальном сочипении по теории колебаний А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Ханкипа [58], Эти исследования используют различные варианты метода малого параметра, в частности метода, предложенного Ван-дер-Полем.

Будем искать такое преобразование

которое приводит уравнение (9) к системе

Соотношение для производной х вытекает из классического метода вариации произвольных постоянных, выражаемого в данном случае условием

Из (11) легко получить начальные значения выраженные через

В математической литературе уравнения (12) часто называются амплитудно-фазовыми уравнениями.

Система (12) содержит медленную переменную а и быструю фазу «медленная фаза» поэтому к пей применима общая методика, изложенная в § 1.11. Будем искать замену переменных вида (1.121)

которая преобразовывает (12) к виду

Заметим, что отыскание преобразования (14) и уравнений (15) в виде рядов правомерно, так как правая часть (9) аналитичпа по

Если выполнить все необходимые для метода усреднения математические операции, то получим бесконечномерную систему уравнений в частных производных для операции

Эти уравнения можно последовательно проинтегрировать, но наибольший интерес при изучении колебательных процессов представляют периодические решения. Покажем, что такие решения с помощью метода Крылова — Боголюбова могут быть эффективно построены. Следуя общему алгоритму определения (см. (1.187)-(1.189), (1.141), (1.142)), находим сначала

Поэтому

где произвольные дифференцируемые функции переменной а. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова (14) имело тригонометрическую форму, необходимо положить

Окончательно будем иметь

Далее, подставляя выражения (17), (19) в уравнения получим

Вычисляя по формулам, аналогичным (17), находим

Поэтому

где - произвольные дифференцируемые функции переменной а. Для сохранения тригонометрической формы преобразования Крылова — Боголюбова (14) необходимо положить

Таким образом, общая методика из § 1.11 дает возможность последовательно проинтегрировать бесконечномерную систему (16) до любого значения следовательно, получить в тригонометрической относительно форме преобразование Крылова — Боголюбова

которое удовлетворяет с погрешностью системе уравнений эквивалентной первоначальному уравнению Ван-дер-Поля (9).

Для того чтобы равенства (24) давали явную зависимость переменных от времени необходимо найти функции в результате решения системы (15). Функция находится из квадратуры

где начальное значение а совместно с определяются из системы функциональных уравнений

Величина понадобится ниже, при определении Числа определяются из условий

где начальные значения (10).

Обращение квадратуры (25) дает после чего находим

Подставляя теперь в формулы (24), находим и далее по формулам

находим решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям (10).

Выражения (29) представляют собой решение уравнения Ван-дер-Поля с медленно изменяющейся амплитудой, и, конечно, в общем случае они не являются периодическими по однако система (15) удобна и для отыскания равновесных решений. Действительно, приравнивая правую часть первого уравнения (15) нулю, будем иметь

а с учетом (22) имеем

Уравнение (81) имеет по меньшей мере три вещественных корня:

Первое решение из (32) соответствует тривиальному решению автономпого осциллятора Ван-дер-Поля (9), если Два других порождают два периодических решения, так как при постоянном значении а квадратура (8) дает

и окончательно будем иметь

Периоды этих решений равны соответственно

Заметим, что решение имеет лишь математическое значение, так как величина а — это амплитуда, которая но физическому смыслу не может быть отрицательной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление