Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.1. Метод гармонического баланса

Одно из многочисленных приложений метода усредпения, которое получило в математической литературе название «метод гармонической линеаризации» или «метод гармонического баланса», было предложено II. Боголюбовым (см. [29, 58]). Суть его состоит в том, что нелинейные силы, участвующие в колебательных системах, заменяются специальным образом построенными липейпыми функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравпений для приближенного анализа нелинейных систем.

Линейные функции, приближенно представляющие нелинейные силы, строятся с помощью специального приема, называемого гармонической линеаризацией. Он состоит в следующем.

Пусть задана нелинейная функция (например, сила), зависящая от координаты х, ее производной х и малого параметра

Гармонической линеаризацией называется замена функции линейной функцией вида

где параметры к, К вычисляются по формулам

Если предположить, что и заданы и постоянны, то нелинейная сила является периодической функцией времени и ее разложение в ряд Фурье содержит, вообще говоря, бесконечное число гармоник с частотами т. е. она может быть представлена рядом

Слагаемое называется основной гармоникой разложения (4).

Амплитуда а и фаза линейной функции совпадают с аналогичными характеристиками основной гармопики нелинейной силы (1). Применительно к часто встречающемуся в теории квазилинейных колебаний дифференциальному уравнению Ван-дер-Поля

метод гарлюпического баланса заключается в замепе линейной функцией (2), и вместо уравпения (5) рассматривается линейное дифференциальное уравнение

с теми же начальными условиями.

Принято называть функцию эквивалентной линейной силой, X эквивалентным коэффициентом затухания, эквивалентным коэффициентом упругости.

Теорема обоснования замены уравнепия (5) лилейным уравнением (6) является следствием теоремы . Боголюбова и качественно выражает следующее: если нелинейное уравнение (5) имеет решение вида

причем

то разность решепий уравнений (5) и (6) является величиной

Метод гармонического баланса может быть использован при отыскании периодических и квазипериодических колебаний, стационарных режимов в теории нелинейных колебаний, в теории автоматического регулирования [57—61].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление