Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА II. ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ К ОДНОНАСТОТНЫМ СИСТЕМАМ

В гл. I изложены основпые идеи метода Крылова — Боге, бова и его различных вариантов применительно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметр, достаточно общего вида, однако таким, которым не свойствен! частотные резонансы. Основная задача, возникающая при иссл довагаш конкретных колебательных систем, состоит в отыскать периодических или почти периодических решений таких систем, а также в исследовании их устойчивости. Нахождение периодических решений простейших колебательных систем (им обычно соответствуют мехапические или другие системы с одной степенью свободы), в которых имеется одна главная собственная частота, при отсутствии резонансов частот удается осуществить, используя метод Крылова — Боголюбова, с любой степенью приближения по малому параметру, причем алгоритмы построения решений в этом случае достаточно просты. Математической моделью для таких простейших колебательных процессов может служить скалярное дифференциальное уравнение 2-го порядка тина уравнения Ван-дер-Поля [57] или более древнее уравнение типа маятпикова уравнения [58]. Описанные ниже задачи были объектом исследовапия многих математиков, и тем не менее на них можно посмотреть по-новому. Задачи взяты из различных областей естествознания, но объединяет их общий метод исследования — метод Крылова — Боголюбова в форме, приданной ему создателями метода.

Вторая группа задач включает такие задачи, которые не удается проинтегрировать с помощью асимптотических разложений (хотя их математической моделью является скалярное дифференциальное уравпение 2-го порядка), но удается найти частные стационарные (равновесные) решения и исследовать устойчивость последних. Таких задач в математической литературе рассмотрено достаточно много. В эту главу включены те задачи, которые показались наиболее интересными с точки зрения выявления неожиданных фактов или оригинальных выводов. Читатель,

заинтересованный в овладении техникой и алгоритмами асимптотического метода Крылова — Боголюбова, сможет, по нашему мнению, после их изучения самостоятельно решать аналогичные задачи [29, 57].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление