§ 1.12. Сильно возмущенные системы

Более общий класс дифференциальных уравнепий составляют системы вида

где -мерный вектор медленных позиционных переменпых, -мерный вектор медленных угловых переменных, -мерный вектор, быстрых угловых переменных, малый скалярный параметр; вектор-функции определены в некоторой области -периодичны по угловым переменным -периодичны по имеют особенности при и — частоты системы, также определенные в причем будем предполагать, что

Эти нормы, как и раньше, можно вычислять по разным формулам; в частности, можно считать, что

т. е. ввести некоторую норму как функцию координат

В области вектор-функции могут быть представлены разложениями

здесь к есть -мерный целочисленный индекс-вектор суммирования с компонентами скалярный целочисленный индекс; есть -мерный вектор

угловых переменных с компонентами Норма вектора к, как и раньше, вычисляется по формуле

Важные для практики задачи описываются, как правило, неинтегрируемыми уравнениями типа (151), поэтому для построения приемлемых приближеиных решений применяются разнообразные, хорошо известные методы теории возмущений. Класс интегрируемых уравнений типа (151) очень узок, и обычно они описывают модели, далекие от сложных реальных физических, механических и других систем.

При система (151) приводится к порождающей системе

общее решение которой имеет вид

Для частных решений будем пользоваться обозначениями

Из (156) видно, что поведение угловых переменных в невозмущенной задаче различно. Вектор является постоянным, а вектор функцией времени, и это различие играет большую роль в исследованиях. Этим мы и объясняем раздельную запись дифференциальных уравнепий для векторов в возмущеппой системе (151), хотя и тот и другой имеют смысл углов.

Приведем некоторые определения, весьма полезные при исследовании систем дифференциальных уравнений (151). Назовем ноложительное число [57]

основным периодом системы (151), а положительное число

ее большим (или долгим) периодом. Для определенности можно считать, что точка фиксирована, и тогда периоды являются функциями этой точки. Если нормы и не равны нулю, то основной и долгий периоды являются положительными числами.

В силу условий (152) имеем, что

Точно так же можно заключить, что

Обычно в теории нелинейпых колебаний исследователи стремятся изучить поведение решений системы (151) на асимптотически большом промежутке времени или по меньшей мере на отрезке

Обозначим через первое приближение к решению системы (151), полученное методом последовательных приближений или каким-либо из методов теории возмущений.

В первом случае оно определяется системой дифференциальных уравнений

В теориях возмущений, использующих классические разложения по степеням малого параметра будем иметь

Важно отметить два обстоятельства.

1. Медленные переменные (и позиционные и угловые определяемые уравнениями (161) и (162), различаются на величину что не имеет места для быстрых угловых переменных

2. Уравнения (162) для угловых переменных могут содержать, вообще говоря, члены, пропорциональные которые обозначены через и Поэтому,

строго говоря, может оказаться, что и не являются функциями, пропорциональными но ради некоторого удобства будем считать, что они входят в структуру именно первого приближения. К тому же ясно, что если частоты не зависят от малого параметра то пропорциональны

Система дифференциальных уравпепий (161) называется сильно возмущенной [57], если

где А — некоторая (положительная) постоянная.

Соответствующую механическую задачу также будем называть сильно возмущенной. Аналогично можпо определить слабо возмущенную задачу как задачу, для которой

Замечание. Если система (151) не содержит медленных угловых переменных то будем считать, что она является сильно возмущенной, если

и слабо возмущенной, если

Аналогично будем считать соответствующую первопачальную систему (151) сильно или слабо возмущенной, если соответствующая система (161) или (162) является сильно или слабо возмущенной.

Наиболее сложные и потому наиболее интересные сильно возмущенные задачи возникают там, где проявляется одна из следующих причин:

1) в системе (151) имеются резонанспые явления, обусловленные резонансными соотношениями между основными частотами

2) нормы вектор-функций достаточно велики при малых значениях

3) совместпо действуют оба эти «механизма».

Если вектор-функции аналитичны по то можно искать решение системы (151) в виде классических разложений, в которых члены строго пропорциональны

Заметим, что первые члены рядов но зависят от и совпадают с порождающим решением (155).

Исследования Пуанкаре [12] показали, что ряды вида хотя и расходятся, тем не менее весьма полезны в небесной механике, так как они также являются асимптотическими. Именно асимптотический характер рядов (167) дает возможность строить хорошие приближенные решения уравнений (151), если они описывают слабо возмущенную задачу. В случае сильно возмущенных задач проявляется основной дефект асимптотических рядов (167), заключающийся в том, что они никак не учитывают особенности самих задач. В порождающем решении (155) отсутствует в каком-либо виде «эффект больших возмущений», поэтому оно плохо описывает сильно возмущенную задачу. Иными словами, возмущения порождающего решения будут содержать члены с малыми знамепателями.

Здесь мы встречаемся с ситуацией, типичной для любых итерационных методов. Какими бы хорошими с математической точки зрения ни были итерационные методы, их практическая эффективность зачастую определяется выбором нулевого приближения. При хорошем выборе нулевого приближения можно быстро получить желаемый результат, при плохом выборе можно прийти даже к абсурдному результату.

Эффективное решение сильно возмущенных задач следует искать только на пути применения к правым частям метода сглаживания таким образом, чтобы в уравнениях 1-го приближения присутствовали в обязательном порядке те слагаемые правых частей, из-за которых задача является сильно возмущенной. В качестве оператора сглаживания целесообразнее всего в таких случаях использовать оператор усреднения по быстрым переменным (см. (14))

т. е. процедуру усреднения следует выполнять по быстрым угловым переменным и по времени которое тоже может быть интерпретировано как быстрая переменная. Более эффективным может оказаться усреднение вдоль порождающего решения по формуле

так как такая процедура сохраняет в X возможные резонансные члены для которых выполняется равенство

Если к правым частям системы (151) примепен оператор усреднения (168), то усредненная система первого приближения для (151) принимает вид

Легко можно выписать и усредненную систему любого приближения для первоначальной системы (151), которая представляется равенствами

и которая, как и система (171), не расщепляется на отдельные иодсистемы.

Вообще разделение движений, т. е. расщепление системы на две или большее число подсистем, возможно тогда, когда частоты не зависят от угловых переменных (именно такими системами являются вращательные, рассмотренные в § 1.9). После построения усредненных уравнений первого или любого приближения (171), (172) можно в принципе к (151) применять метод преобразований Крылова — Боголюбова, изложенный в предыдущих параграфах. Здесь мы не будем в явпом виде выписывать уравнение Крылова — Боголюбова (4) для преобразований поскольку в следующей главе тому вопросу будет уделено достаточно много внимания.

Замечание 1. Если» при изучении сильно возмущенных систем вида (151) применяется оператор усредпения но части угловых переменных (оператор (14)), то весьма существенным является то, по каким угловым переменным производится усреднение. Рекомендуется обязательно усреднять в таких случаях в первую очередь по быстрым угловым переменным у, но не рекомендуется усреднять по медленным угловым переменным Следует сохранить зависимость иптегралыюго среднего от в противном случае приходится ожидать, что медленные переменные определяемые первоначальной системой (151), и сглаженный вектор определяемый усредненными уравнениями (171) или (172), будут -близкими по норме на асимптотически большом интервале времени

Замечание 2. Обоснованием -малости нормы при могут служить при соответствующих

условиях, наложенных на правые части системы (151), теоремы 1.3, 1.4, если в системе (151) отсутствуют частотные резонансы, или теорема 1.5 и ее обобщения, если пет застревания в окрестности резонансных точек.

Замечание 3. Одна из наиболее известных сильно возмущенных задач, которой занимались многие выдающиеся математики прошлого, — это задача о движении Лупы. Дело в том, что на движение Луны сильно влияет притяжение со стороны Солнца, несмотря на то что расстояние Солнце — Луна примерно в 400 раз больше расстояния Земля — Луна. Сильное возмущение в параметрах геоцентрической орбиты Луны, порождаемое Солнцем, объясняется большой массой последнего (масса Солнца примерно в 330 000 раз больше массы Земли). Более столетия не удавалось построить такую теорию движения Луны, которая находилась бы в хорошем согласии с наблюдениями на относительно большом интервале времени (около 100—200 оборотов Луны). На математическом языке это означает, что не удавалось построить приближенное решение дифференциальных уравнений движения Луны, пригодное для описания ее реального движения на большом (долгом) периоде.