Макеты страниц § 1.12. Сильно возмущенные системыБолее общий класс дифференциальных уравнепий составляют системы вида
где
Эти нормы, как и раньше, можно вычислять по разным формулам; в частности, можно считать, что
т. е. ввести некоторую норму как функцию координат В области
здесь к есть угловых переменных с компонентами
Важные для практики задачи описываются, как правило, неинтегрируемыми уравнениями типа (151), поэтому для построения приемлемых приближеиных решений применяются разнообразные, хорошо известные методы теории возмущений. Класс интегрируемых уравнений типа (151) очень узок, и обычно они описывают модели, далекие от сложных реальных физических, механических и других систем. При
общее решение которой имеет вид
Для частных решений будем пользоваться обозначениями Из (156) видно, что поведение угловых переменных Приведем некоторые определения, весьма полезные при исследовании систем дифференциальных уравнений (151). Назовем ноложительное число [57]
основным периодом системы (151), а положительное число
ее большим (или долгим) периодом. Для определенности можно считать, что точка В силу условий (152) имеем, что
Точно так же можно заключить, что
Обычно в теории нелинейпых колебаний исследователи стремятся изучить поведение решений системы (151) на асимптотически большом промежутке времени Обозначим через В первом случае оно определяется системой дифференциальных уравнений
В теориях возмущений, использующих классические разложения по степеням малого параметра
Важно отметить два обстоятельства. 1. Медленные переменные (и позиционные 2. Уравнения (162) для угловых переменных строго говоря, может оказаться, что Система дифференциальных уравпепий (161) называется сильно возмущенной [57], если
где А — некоторая (положительная) постоянная. Соответствующую механическую задачу также будем называть сильно возмущенной. Аналогично можпо определить слабо возмущенную задачу как задачу, для которой
Замечание. Если система (151) не содержит медленных угловых переменных
и слабо возмущенной, если
Аналогично будем считать соответствующую первопачальную систему (151) сильно или слабо возмущенной, если соответствующая система (161) или (162) является сильно или слабо возмущенной. Наиболее сложные и потому наиболее интересные сильно возмущенные задачи возникают там, где проявляется одна из следующих причин: 1) в системе (151) имеются резонанспые явления, обусловленные резонансными соотношениями между основными частотами 2) нормы вектор-функций 3) совместпо действуют оба эти «механизма». Если вектор-функции
Заметим, что первые члены рядов Исследования Пуанкаре [12] показали, что ряды вида Здесь мы встречаемся с ситуацией, типичной для любых итерационных методов. Какими бы хорошими с математической точки зрения ни были итерационные методы, их практическая эффективность зачастую определяется выбором нулевого приближения. При хорошем выборе нулевого приближения можно быстро получить желаемый результат, при плохом выборе можно прийти даже к абсурдному результату. Эффективное решение сильно возмущенных задач следует искать только на пути применения к правым частям метода сглаживания таким образом, чтобы в уравнениях 1-го приближения присутствовали в обязательном порядке те слагаемые правых частей, из-за которых задача является сильно возмущенной. В качестве оператора сглаживания целесообразнее всего в таких случаях использовать оператор усреднения по быстрым переменным
т. е. процедуру усреднения следует выполнять по быстрым угловым переменным
так как такая процедура сохраняет в X возможные резонансные члены для которых выполняется равенство
Если к правым частям системы (151) примепен оператор усреднения (168), то усредненная система первого приближения для (151) принимает вид
Легко можно выписать и усредненную систему любого приближения для первоначальной системы (151), которая представляется равенствами
и которая, как и система (171), не расщепляется на отдельные иодсистемы. Вообще разделение движений, т. е. расщепление системы на две или большее число подсистем, возможно тогда, когда частоты Замечание 1. Если» при изучении сильно возмущенных систем вида (151) применяется оператор усредпения но части угловых переменных (оператор (14)), то весьма существенным является то, по каким угловым переменным производится усреднение. Рекомендуется обязательно усреднять в таких случаях в первую очередь по быстрым угловым переменным у, но не рекомендуется усреднять по медленным угловым переменным Замечание 2. Обоснованием условиях, наложенных на правые части системы (151), теоремы 1.3, 1.4, если в системе (151) отсутствуют частотные резонансы, или теорема 1.5 и ее обобщения, если пет застревания в окрестности резонансных точек. Замечание 3. Одна из наиболее известных сильно возмущенных задач, которой занимались многие выдающиеся математики прошлого, — это задача о движении Лупы. Дело в том, что на движение Луны сильно влияет притяжение со стороны Солнца, несмотря на то что расстояние Солнце — Луна примерно в 400 раз больше расстояния Земля — Луна. Сильное возмущение в параметрах геоцентрической орбиты Луны, порождаемое Солнцем, объясняется большой массой последнего (масса Солнца примерно в 330 000 раз больше массы Земли). Более столетия не удавалось построить такую теорию движения Луны, которая находилась бы в хорошем согласии с наблюдениями на относительно большом интервале времени (около 100—200 оборотов Луны). На математическом языке это означает, что не удавалось построить приближенное решение дифференциальных уравнений движения Луны, пригодное для описания ее реального движения на большом (долгом) периоде.
|
Оглавление
|