Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.11. Практически нерезонансные автономные вращательные системы

Рассмотрим класс практически нерезонансных многочастотных вращательных систем и для них построим асимптотическую теорию возмущений на основе метода Крылова — Боголюбова. Предположим, что решение системы (114) таково, что для всех целочисленных векторов к, норма которых удовлетворяет неравенству

и для любого - заданное положительное число) выполняется неравенство

где а — заранее заданное (иногда уточняющееся в процессе построения асимптотических разложений) положительное число.

Будем называть в таком случае системы вида (114) практически перезопансными системами. Согласно алгоритму построения приближенной системы (114), резонансные члепы со свойством могут быть только среди тех членов, для которых т. е. среди «отброшенных» в правых частях дифференциальных уравпений слагаемых.

Применим теперь к (114) оператор усреднения по угловым переменным у:

Тогда система сравнения первого приближения для вращательной системы (114) запишется в виде

а система сравнения общего вида (любого приближения) может быть неписана в виде

где через обозначен малый параметр входящий в качестве аргумента в функции Вектор-функции как и раньше, пока неизвестпы.

Системы сравнения (117) и имеют одно характерное свойство. Оператор усреднепия но фазовым переменным у приводит к «разделению движений», т. е. к расщеплению системы дифферепциальных уравнений порядка на две подсистемы, интегрирование которых может быть выполнено независимо. Одна подсистема, определяющая медленные «усредненные» переменные х, имеет порядок вторая, определяющая у, имеет порядок

Если подсистема первого приближения для х

может быть проиптегрирована, то нахождение быстрых переменных у сводится к простой квадратуре

Остается неясным, какое отношепие имеют фупкции к решению вращательпой системы (114). Чтобы ответить на этот вопрос, следует построить асимптотические представления для х и у, пользуясь методом усреднения. Будем искать такую замену переменных

которая преобразовывает систему (114) с аналитическими относительно х, у в области правыми частями в систему сравнения (118). Из аналитической структуры преобразования Крылова—Боголюбова (121) следует, что замена переменных не выражается классическими степенпыми рядами по степеням так как опа содержит еще и зависимость от параметра

После дифференцирования замены (121) и выполнения соответствующих выкладок получаем бесконечномерную систему линейных уравнений в частпых производных:

(см. скан)

Бесконечная система (122)-(127) обладает тем замечательным свойством, что она последовательно любого значения индекса может быть проинтегрирована аналитическом виде. Действительно, подставляя в (122) выражение для будем иметь для уравнение

общее решение которого может быть записано в виде

где - произвольная дифференцируемая по х вектор-функция. Норма индекса суммирования к превышает поэтому зпаменатели в выражении (129) при не обращаются в нуль.

На практике целесообразно положить т. е. определять по формуле

Если мы хотим построить асимптотическую теорию в тригонометрической форме, то условие

является необходимым. В противном случае уже при определении функции в ее выражении появился бы «вековой» члеп вида

«пропорциональный» быстрому вектору у, который в свою очередь является почти линейной функцией времепи

Далее, имея выражение (130), можно проинтегрировать уравнение (123). С учетом равенства (131) одно из его решений может быть написано в виде

Из бесконечиого числа решений уравнения (123) мы выбрали именно такое решение, которое является -периодической функцией относительно вектора у. Если бы мы добавили к правой части выражения (133) произвольную дифференцируемую функцию то такое выражепие также было бы решением уравнения (123), однако оно обусловило бы появление вековых члепов в функции

Рассмотрим теперь второе приближение, т. е. определим функции Пользуясь общим видом уравнений для можно написать

где

Выбор вектор-функций входящих в структуру уравнений (118) и (134), может быть сделан по-разному, но наиболее подходящим является тот, при котором в функциях можно исключить наиболее быстро растущие слагаемые, например непериодические слагаемые. Иными словами, функции следует выбрать таким образом, чтобы

или в явном виде

Для вычисления необходимо подставить в подынтегральное выражение (138) явные функциональные зависимости для с помощью формул (130), (133) и их частные производные. После нахождения можно проинтегрировать

первое из уравнений (134) и таким образом найти функцию (суммирование ведется по всем ):

Далее, подставляя в равенство (139), находим функцию интегрируя второе из уравнений (134), находим Выражение для аналогично, но более громоздко, чем (140), поэтому мы здесь его не приводим.

Любой другой выбор функций менее удачен, так как в этих случаях в уравнениях для могут появиться непериодические слагаемые, которые при интегрировании порождают вековые возмущения, члены вида

Таким образом, выражения (130), (133), (140) показывают, что функции составляющие преобразование Крылова— Боголюбова с точностью до выражаются через -периодические функции относительно быстрых переменных у. Это свойство сохраняется для любого порядка к, если определять функции из равенств

и на каждом шаге итерации (т. е. при определении функций произвольные функции вида полагать равными нулю, аналогично (131).

Мы описали алгоритм нахождения функций в виде -периодических функций относительно у. Преобразование

Крылова — Боголюбова (121) имеет «тригонометрическую форму», и в нем отсутствуют вековые члены вида

Достаточно на каком-либо итерационном шаге ввести ненулевую функцию или определить не по формулам (141), (142), как это уже на шаге приводит к появлению вековых членов вида в функциях Это означает, что возмущения -го порядка уже не будут чисто тригонометрическими.

Изучим связь между начальными условиями. Из выражения (130) для вытекает, что при имеем

По этой причине в первом приближении вектор не равен нулевому вектору, а его норма имеет порядок так как

Порядок сохраняется и в приближении. Те же оценки имеют место и для вектора

Таким образом, нахождение преобразования Крылова — Боголюбова в тригонометрической форме (в виде периодических функций относительно возможно, если искать решевйе системы сравнения (118) с начальпыми условиями

Как определить печальные значения Очевидно, они должны удовлетворять уравнениям

которые должны быть решены с заданной степенью точности.

В заключение опишем схему алгоритма. Точное решение усеченной нелипейпой системы (114), как правило, не представляется возможным построить в аналитическом виде, поэтому вместо нее вводим систему сравнения порядка

в которой произведено «разделение движений».

Для преобразования (114) в систему (146) используется усеченное преобразование Крылова — Боголюбова

Если для определения функций применяется вышеописанный алгоритм, то мы строим преобразование Крылова — Боголюбова в виде -периодических функций от у. Выражения для выписываются последовательно в аналитическом виде (см. (130), (133), (140)).

В аналитическом виде выписываются также выражения для т. е. правые части уравнепий сравнения (146) можно написать однозпачно.

Если теперь рассматривать формулы (147) как асимптотические представления первоначальных искомых переменных то нам необходимо знать решение системы сравнения (146) Сначала пайдем начальные значения из функциональных уравнений

Формулы (148) в отличие от (145) определяют начальные значения только для приближения.

Остается теперь найти решение задачи Коши для подсистемы

Если оно найдено, то быстрые переменные определяются из квадратуры

Подставляя теперь функции х, у в формулы (147), мы находим решение системы с асимптотикой В окончательных асимптотических формулах (147) следует вместо написать

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление