Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.10. Алгоритм усечения правых частей дифференциальных уравнений

Рассмотрим две вращательные системы порядка

с начальными условиями

правые части которых определены в Будем предполагать, что:

1) решение системы (90) с заданными начальными условиями существует и единственно;

2) функции удовлетворяют в областях своего определения условию Липшица

3) в области имеют место неравенства

где произвольные положительные числа.

Тогда имеют место следующие оценки [55] для решений систем (90) и (101):

где

Неравенства (105) могут быть использованы для решения обратной задачи. Пусть задан интервал времени на котором выполняются неравенства (105). Пусть, кроме того, заданы отклонения

Требуется найти оценки для норм

т. е. определить входящие в (104).

Решение относительно алгебраических уравнений

дает выражения вида

где некоторые функции достаточно громоздкой аналитической структуры. Можно, в частности, показать, что при достаточно малых

Таким образом, по заданным величинам и можно вычислить а последние величины можно использовать для «усечения» бесконечных рядов в правых частях уравнений (90). Действительно, пусть функции дифференцируемы I раз по в области Тогда имеем оценку [55]

где

положительная постоянная, ограничивающая в области следующую норму компоненты вектор-функции :

Аналогичная оценка выписывается и для вектор-функции Если оценка вида (112) выполняется и для Х(,)(х, то неравенство (111) имеет место и для вектор-функции с той лишь разницей, что

Далее составляем два зависящих друг от друга неравенства:

где вычисляются но формулам (109). Каждое из неравенств решается независимо и находится минимальное значение целого числа удовлетворяющее ему, а из двух минимальных значений берется большее. Это и есть то зпачений N, по которому «усекаются» правые части уравнений (90).

Таким образом, алгоритм усечения правых частей дифференциальных уравнений вкратце состоит в следующем:

Шаг 1. По задапным отклонениям приближенного решения от точного решения первоначальной системы дифференциальных уравнений (90) и заданному асимптотическому промежутку времени по формулам (109) определяем величины характеризующие отклонения правых частей приближенных уравнений (101) от правых частей точных уравнений (90).

Шаг 2. Зпая величины находим в результате решения неравенств (113) число указывающее на то место, где должны быть «усечены» ряды (91).

Теперь вместо вращательной системы (90) можно рассматривать систему

правые части которых суть тригонометрические полиномы относительно у, а не бесконечные ряды.

Далее будем изучать систему (114).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление