Макеты страниц § 1.9. Многочастотные автономные вращательные системы без частотных резонансовАвтономные системы
где При известных предположениях [5, 6] вектор-функции
коэффициенты которых зависят от позиционных переменпых х и малого параметра Если смысле Крылова — Боголюбова до любого порядка [17] в аналитическом виде. Но сначала изложим некоторые предварительные соображения. Случай Если вектор частот
вращательную систему (90) можпо привести к стандартной системе вида (36); поэтому к ней применимы результаты из § 1.5. Поведение решений вращательных систем (90) существенно зависит от наличия или отсутствия частотных резонансов. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Порождающая система для (90) представляется уравнениями
и, естественно, является интегрируемой, с решепием
где Если соотношения вида
выполняются для всех
и к таким вращательным системам без частотных резонансов применимы преобразование Крылова — Боголюбова и теорема обоснования Волосова, приведенные в § 1.7. Более того, в этом случае, как мы увидим ниже, удается построить в аналитическом виде преобразование Крылова — Боголюбова вида (73), но, к сожалению, условие (95) является весьма жестким и, что самое главпое, трудно проверяемым вдоль решения резонансных и нерезопансных точек, поэтому целесообразно сначала рассматривать так называемые практически нерезонанспые автономные вращательные системы, т. е. системы, траектории которых удовлетворяют условию (95) не для всех целочисленных векторов к, а для таких, норма которых ограничена, сверху:
К выбору числа Наряду с автономпыми нерезонансными вращательными системами, которые из-за выполнения условия (95) можно считать слишком экзотическими, целесообразно изучать системы, обладающие свойством застревания в окрестности резонансных точек. Под этим подразумевается, что траектория Для иллюстрации этого утверждения приведем формулировку теоремы В. И. Арнольда [52], установленной им для двухчастотной системы вида Теорема 1) вектор-функции 2) частоты 3) нормы
при Тогда существует такое
где С — некоторая положительная постоянная. Среди условий теоремы особое значение имеет неравенство (98). Именно это условие показывает, что решение оценки величин для радиусов окрестностей и времени их прохождения можно найти в [8, 52]). Некоторые обобщепия теоремы В. И. Арнольда на случай Качественные рассуждения, приведенные в этом параграфе, показывают, что для построения преобразований типа Крылова — Боголюбова, переводящих многомерные автономные вращательные системы (90) в системы сравнения
необходимо разработать такой аналитический аппарат, который учитывал бы возможность прохождения траекторий через резонансные точки или вблизи последних.
|
Оглавление
|