§ 1.9. Многочастотные автономные вращательные системы без частотных резонансов

Автономные системы -го порядка

где а вектор частот в отличие от (63), зависит только от медленных переменных х, назовем многочастотными автономными вращательными системами. Здесь векторы -мерные, а -мерные. Медленные переменные это позиционные переменные, а быстрые неременные у — угловые переменные.

При известных предположениях [5, 6] вектор-функции представимы -кратными рядами Фурье вида

коэффициенты которых зависят от позиционных переменпых х и малого параметра Вращательные системы вида (90) играют большую роль в аналитической и пебесной механике, в гиросконии и других областях знания.

Если - периодические по у вектор-функции удовлетворяют условиям теоремы Дирихле [5, 6] и к тому же являются аналитическими относительно х в некоторой области то для систем вида (90) можно построить асимптотическую теорию возмущений в

смысле Крылова — Боголюбова до любого порядка [17] в аналитическом виде. Но сначала изложим некоторые предварительные соображения.

Случай (вектор быстрых переменных у является одномерным) подробно изучен . Боголюбовым и Зубаревым [30]. Он интересен не только с точки зрения теории, но и своими приложениями в динамике заряженных частиц в магнитном поле. При исследование вращательных систем (90) существенно осложняется из-за возможного появления резонансов частот.

Если вектор частот является постоянным, то с помощью замены переменных

вращательную систему (90) можпо привести к стандартной системе вида (36); поэтому к ней применимы результаты из § 1.5.

Поведение решений вращательных систем (90) существенно зависит от наличия или отсутствия частотных резонансов. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Порождающая система для (90) представляется уравнениями

и, естественно, является интегрируемой, с решепием

где начальные значения х, у.

Если соотношения вида

выполняются для всех и всех к с нормой то применение к функциям оператора усреднения вдоль порождающего решепия и оператора усреднения при постоянных возмущениях (см. § 1.4) дают одинаковый результат:

и к таким вращательным системам без частотных резонансов применимы преобразование Крылова — Боголюбова и теорема обоснования Волосова, приведенные в § 1.7. Более того, в этом случае, как мы увидим ниже, удается построить в аналитическом виде преобразование Крылова — Боголюбова вида (73), но, к сожалению, условие (95) является весьма жестким и, что самое главпое, трудно проверяемым вдоль решения при Иными словами, мы знаем априорных условий, которые позволили бы разделить область на множества

резонансных и нерезопансных точек, поэтому целесообразно сначала рассматривать так называемые практически нерезонанспые автономные вращательные системы, т. е. системы, траектории которых удовлетворяют условию (95) не для всех целочисленных векторов к, а для таких, норма которых ограничена, сверху:

К выбору числа вернемся в § 1.10.

Наряду с автономпыми нерезонансными вращательными системами, которые из-за выполнения условия (95) можно считать слишком экзотическими, целесообразно изучать системы, обладающие свойством застревания в окрестности резонансных точек. Под этим подразумевается, что траектория с изменением при может оказаться в малой окрестности некоторой точки х, удовлетворяющей условию и застрянет в этой окрестности далее при всех где заданное число. Примеры В. И. Арнольда [52] и Гребеникова и 10. А. Рябова [17] указывают на то, что -близость медленных переменных на асимптотически большом промежутке времени может и иметь места, если не наложить достаточно жесткие условия на поведепие регпепия в окрестностях резонансных точек.

Для иллюстрации этого утверждения приведем формулировку теоремы В. И. Арнольда [52], установленной им для двухчастотной системы вида

Теорема Арнольд). Пусть:

1) вектор-функции аналитичны и -периодичньг по у в области комплексная компактная -мерная область;

2) частоты аналитичны в области

3) нормы ограничены в заданных областях;

при

Тогда существует такое что при всех и всех справедлива оценка

где С — некоторая положительная постоянная.

Среди условий теоремы особое значение имеет неравенство (98). Именно это условие показывает, что решение первоначальной системы (90) может пройти через окрестности резонансных точек радиуса и не произойдет застревания в этих окрестностях, если оно там окажется (количественные

оценки величин для радиусов окрестностей и времени их прохождения можно найти в [8, 52]). Некоторые обобщепия теоремы В. И. Арнольда на случай касаются ослабления условия (98) и получены в работах [53, 54].

Качественные рассуждения, приведенные в этом параграфе, показывают, что для построения преобразований типа Крылова — Боголюбова, переводящих многомерные автономные вращательные системы (90) в системы сравнения

необходимо разработать такой аналитический аппарат, который учитывал бы возможность прохождения траекторий через резонансные точки или вблизи последних.