Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1.8. Системы с быстрыми переменными без частотных резонансов

Рассмотрим -мерное дифференциальное уравнение

где суть -мерные векторы, и, кроме того, пусть вектор аналитичен по , в области , т. е.

где коэффициенты разложения по степепям Обозначим общее решение порождающего уравнения

через

Покажем прежде всего, что существует формальная замена переменных преобразующая уравнение (78) в уравнение

правая часть которого содержит в явпом виде Преобразование будем искать в виде

Вектор-функции подлежат определению. Если в уравнении (78) перейти к новым искомым функциям х, то после очевидных, но громоздких выкладок можно вывести уравнение в частных производных первого порядка, определяющее вектор Оно имеет вид

Вектор-функции зависят от В частности, функция определяющая усредненное уравнение первого приближения, представляет собой решение уравнения

Уравнепия (84) и (85) являются векторными, и встречающиеся в них нроизведения суть скалярные, т. е.

Заметим, что пока не определены каким-либо образом вектор-функция также неизвестна.

Таким образом, для формального преобразования уравнения (78) в уравнение (82) необходимо решить систему уравнений в частных производных (84) для при условии, что каким-либо способом выбраны.

Вместо системы (84) рассмотрим характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка

Система (87) расщепляется на две системы, каждая из которых имеет порядок Более того, первые уравнений составляют порождающую систему (83), общее решение которой считается известным (см. (81)), поэтому для определения характеристик необходимо решить систему линейпых неоднородных дифференциальных уравнений

Но векторное уравнение является уравнением в вариациях для порождающей системы, поэтому, согласно теореме Пуанкаре [12], общий его интеграл находится путем дифференцирования общего решения (81) по произвольным постоянным. Следовательно, общее решепие уравнепия (88) в принципе определяется в квадратурах.

Если известны независимых первых интегралов системы (87), то нахождение решения уравнения в частных производных (84) не представляет особых трудностей [12].

Итак, математический формализм теории рядов пригоден и для системы в которой искомый вектор х состоит только из быстрых движений.

Усредпепным уравнением первого приближения для (78) является -мерное дифференциальное уравнение

Обоснование метода усредпеиия для уравнения (78) выражает следующая

Теорема 1.4 (Е. А. Гребеников [34]). Пусть:

1) вектор-функции непрерывны и равномерно ограничены вместе с производными в некоторой открытой -мерной области и удовлетворяют в этой области условию Липшица по переменным х с общей постоянной;

2) существует равномерное среднее для относительно всех начальных условий из вдоль порождающего решения

3) решение системы (89) для любых не выходит из области

Тогда для любых можно найти такое что при любых неравенство выполняется для всех

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление