Главная > Разное > Метод усреднения в прикладных задачах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория колебаний имеет много аспектов. Когда колебательные процессы изучаются математиком, на первый план выдвигаются вопросы существования и построения периодических или почти периодических решений различных классов уравнений (обыкновенных дифференциальных, в частных производных, интегральных и др.). Специалиста-механика интересует прежде всего устойчивость периодических или почти периодических колебаний различного рода механизмов и агрегатов, а физик может интересоваться колебаниями различных объектов, начиная с элементарных частиц и кончая звездами, галактиками и другими крупномасштабными природными образованиями. И в микромире, и микромире развитие многих физических процессов Происходит колебательным, а часто и периодическим образом. Поэтому построение математических моделей для разнообразных Колебательных процессов и их всестороннее исследование представляют собой важную задачу прикладной математики. Теория колебании практически зародилась вместе с дифференциальным и интегральным исчислением, по основателями современной теории нелинейных колебаний с полным правом следует считать крупнейших математиков второй половины 19-го и начала 20-го столетий А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре, разработавших в своих фундаментальных сочинениях достаточно эффективные математические. идеи и методы исследований нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений весьма общего вида, могущих иметь отношение и к теории колебаний.

После А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре и особенно в последние 30-40 лет отечественными математиками (Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, А. А. Андроповым, Л. С. Поптрягиным, Л. П. Тихоновым и их многочисленными учениками) были разработаны новые методы, основанные на идеях вышеупомянутых классиков и позволившие существенно продвинуть вперед решение многих важных задач теории нелинейных колебаний, небесной механики, теоретической физики. При этом соблюдалось определенное гармоническое равновесие между теоретическим и прикладным аспектами, что характерно для творческого стиля и A. М. Ляпунова, и А. Пуанкаре.

Математическим образом задачи теории колебаний является нелинейная математическая модель, описываемая нелинейными уравпепиями. Исследование таких моделей проводится, как правило, с помощью метода последовательных приближений (метода итераций), а в том случае, когда нет надобности в получеппи очень точных результатов, можпо ограничиться рассмотрением линеаризованной модели. К методу итераций мы здесь относим разнообразные варианты асимптотической теории возмущений, использующие разложения по степеням малых и больших параметров, метод рядов, метод последовательных преобразований и их любые возможные сочетания. Эффективность всех указанных методов зависит от многих фактвров, среди которых основными, на наш взгляд, представляются следующие:

1) Выбор наиболее оптимального для данной задачи фазового пространства, его метрики и нормы; ведь метод преобразований зависимых и независимых переменных (замена переменных) в процессе решения задачи и означает на самом деле поиск исследователем той геометрии, в которой решаемая задача описывается наиболее просто.

2) Выбор начального (пулевого) приближения, к которому находят в процессе решения добавки.

При удачном выборе начального приближения добавки будут малыми, при неудачном — большими, и в последнем случае приближенное решение может не иметь ничего общего с точным решепием задачи.

Асимптотическая теория возмущений, опирающаяся, с одной стороны, на начальное приближение, построенное с помощью какого-либо оператора сглаживания (усреднения), и, с другой стороны, на последовательные замены переменных для получения тех функций, которые мы назвали выше добавками, получила в математической литературе название «метод усреднения», а во многих литературных источниках — «метод Крылова — Боголюбова».

Применительно к колебательным процессам это означает, что с помощью процедуры сглаживания из всех периодических компонент (гармоник), составляющих данный колебательный процесс, выделяются основные компоненты, характеризующие наиболее значительные свойства изучаемого физического явления, а далее используются замены перемепных, которые преобразовывают первоначальные уравнения в «сглаженные». При обосновании применимости асимптотической теории возмущений естественно возникает вопрос об оценке величин отклонений точных решений от сглаженных (усредненных) решений. Основополагающие результаты этого важного математического направления принадлежат Н. И. Боголюбову, впервые объединившему идею сглаживания правых частей уравнений с идеей последовательного осуществления замеи переменных.

Таким образом, замену переменных можно рассматривать как средство поиска наиболее оптимальной геометрии для данной нелинейной задачи. Но есть и другой, не менее важный, а для приложений, быть может, более существенный аспект. Формулы, реализующие сами замены переменных, представляют собой «симптотические выражения для точных решений первоначальных уравнений, т. е. их можно трактовать как формулы для приближенных решений первоначальных уравнений. Иными сломами, метод усреднения и его разнообразные варианты могут дать эффективное конструктивное средство для построения решении первоначальных, несглаженных уравнений в виде асимптотических в смысле Пуанкаре представлении (см. § 0.2). Из дальнейщего будет видно, что метод усреднения дает возможность построить такую теорию возмущений, которая не обязательно представляется классическими степенными рядами по степеням малых или больших параметров (как, например, в методах Ляпунова и Пуанкаре). Эта аналитическая зависимость от параметра может быть существенно более сложной.

К настоящему времени издано немало книг монографического и учебного характера, посвященных различным вопросам теории нелинейных колебаний. Среди них особое место занимает монография П. П. Боголюбова и Ю. А. Митропольского «Асимптотически» методы и теории нелинейных колебаний», выдержавшая уже несколько изданий. Эта монография оказала и оказывает большое идейное и методическое влияние практически на всех специалистов, изучающих колебательные явления и периодические процессы, в том числе и на автора представленной книги, на его научное мировоззрение. Несмотря на относительное обилие печатных изданий но теории нелинейных колебаний, потребность в книгах, в которых изложены конкретные методы и алгоритмы, позволяющие поручить не столько качественные, сколько количественные результаты, постоянно растет. Мало также книг, в которых изложены результаты, относящиеся к асимптотической теории так называемых резонансных систем. По особенно чувствуется потребность в книгах, с помощью которых начинающие прикладники и инженеры могли бы достаточно быстро освоить конструктивную часть теории нелинейных колебании, т. е. методику расчетов периодических и почти периодических решений нелинейных моделей. Основное содержание данной книги составляют как раз конкретные методы и алгоритмы, позволяющие находить решения задач теории нелинейных колебаний. Для демонстрации их эффективности выбраны как хорошо известные задачи (уравнения Ван-дер-Поля, Дюффинга и др.), так и новые задачи, описываемые многомерными системами дифференциальных уравнений с переменными частотами и с резонансами (задачи небесной механики, механики деформируемого тела и др.). Для читателя, интересующегося

проблемами математического обоснования применяемых методов и алгоритмов, приведены формулировки основных теорем и необходимая библиографическая литература.

В заключение хотелось бы выразить искреннюю благодарность академику 10. А. Митропольскому, моим коллегам Ю. Л. Рябову и Н. X. Розову, сделавшим ряд ценных цродложений и замечаний по структуре и содержанию книги, и особенно А. Г. Сокольскому, Б. И. Мосеенкову, С. В. Миронову и В. А. Приходько, подготовившим подробный материал для некоторых ее параграфов.

Е. А. Гребеников

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление