Главная > Разное > Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 50. Сдвиги. Крутящие моменты. Неопределенные и определенные уравнения

Итак, характеристические отношения подставленные в формулы (11)

сдвигов и в сведенные к одночленной форме выражения

касательных составляющих давления (§ 16; штрихи опущены), дают:

То, что мы назвали (§ 46) крутящим моментом и обозначили через не что иное, как сумма моментов относительно оси х составляющих давления или, лучше сказать, усилий действующих на различные элементы Первая составляющая имеет нулевой момент, так как она параллельна оси; две другие имеют плечи но последняя действует в направлении, противоположном, тому, в котором, как мы полагаем, происходит кручение (§ 47).

Итак, получаем:

или, подставляя (104):

Это выражение сводится к

т. е. при к полярному моменту инерции сечения, умноженному на угол кручения и коэффициент упругости при сдвиге если продольные перемещения и равны нулю или постоянны на каждом сечении, т. е. если сечения остаются плоскими и перпендикулярными к оси. Это как раз то, что допускала прежняя теория кручения. Но это, как мы увидим, верно только в том случае, для которого Кулон разработал эту теорию, а именно для цилиндра с круговым основанием. Мы видим, что для определения столь важных величин, как момент и сдвиг нужно знать продольные перемещения и молекул скрученной призмы.

Итак, те же отношения сводят неопределенное дифференциальное уравнение (34) § 21 (самое общее из уравнений для тех случаев, когда выражаются одночленами) к уравнению, которое содержит только перемещение и, в котором полагаем, как уже говорилось,

Нам предстоит его проинтегрировать таким образом, чтобы выполнить для точек поверхности условие которое путем подстановки значений превращается в

Это определенное уравнение, которое удовлетворяется во всех точках контура сечения призмы.

Мы проделаем интегрирование только для очень распространенного случая, когда деформация или структура

тела такова, что

т. е. для случая, когда продольное удлинение либо равно нулю, либо постоянно во всем теле, или для случая, в котором это удлинение постоянно лишь для каждой материальной прямой, параллельной оси кручения, и имеется главная плоскость упругости, перпендикулярная к той же оси (что дает ).

Следовательно, мы получим, считая, кроме того, что угол кручения в постоянен от одного конца призмы до другого:

если не равны нулю.

Это неопределенное уравнение относится ко всем точкам скрученной призмы.

Способ его интегрирования будет зависеть от формы контуров сечений, которые мы последовательно рассмотрим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление