Главная > Разное > Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 43. Новая форма контура сечения изогнутой призмы

Интересно узнать также, каковы изменения в контуре сечения вследствие поперечных сжатий и удлинений, которые непременно сопровождают продольные удлинения и сжатия волокон. Выражения или выражения

(84), добавленные к первому выражению (81), помогут нам выяснить этот вопрос. Они дают для сечения, где при обозначении через новых координат какой-нибудь точки, первоначальные координаты которой были у, z, уравнения

ко вторым членам которых следовало бы только соответственно добавить — если (§ 37) призма испытывает вместе с изгибом растяжение на единицу площади своих оснований.

Исключая прежние координаты у, z из этих двух уравнений и уравнения прежнего контура сечения, мы получим уравнение нового контура в координатах

Рис. 25

Если, например, контур сечения эллипс (рис. 25), определенный уравнением то нужно будет для получения пунктирной кривой в которую он превращается, исключить у и z из этого уравнения и из уравнений (96).

Исключение с помощью второго уравнения (96) дает сначала

или, разлагая в ряд радикал и отбрасывая в конечном счете члены, имеющие в знаменателе радиус кривизны в степени выше первой, имеем

а при подстановке в уравнение эллипса получаем:

Это уравнение кривой когда включающее частный случай кругового сечения при одинаковой упругости в направлениях осей у и z, сводится к

если пренебречь

Таким образом, новая кривая является эллипсом, равным прежнему но имеющим центр, расположенный ниже на (т. е. на радиуса с сечения, если оно является окружностью и если

При наложении нового эллипса на прежний материальная точка О, центр последнего, не изменила своего положения, но она не находится более в центре сечения, так как все другие материальные точки опустились и в то же время приблизились или удалились по отношению к вертикальной оси смотря по тому, где они находились, выше или ниже горизонтали

Мы получим контур сечения также приближенно посредством геометрического построения, основанного на том простом соображении, что все волокна, которые не оказывают в боковом направлении друг на друга никакого действия, так как повсюду должны сжиматься или растягиваться в поперечных направлениях в тех же

пропорциях как если бы они были изолированными; отсюда можно заключить, что если на оси являющейся продолжением радиуса кривизны , или на всякой параллельной линии взять точку К на расстоянии

от линии нейтральных волокон то все прямые, проведенные первоначально на сечении параллельно превратятся в дуги окружности, имеющей эту точку К в качестве центра, а все прямые, проведенные параллельно превратятся в радиусы этих дуг или в прямые, сходящиеся в К.

Рис. 26

Действительно, возьмем, например, прямоугольное сечение в котором и с — полустороны и (рис. 26). Перенесем в новое положение точек на сторонах так чтобы (в соответствии со вторым уравнением (96) при или в соответствии с интегралом лежали на прямой и из точки К как из центра опишем дуги окружности Тогда линии связывающие их концы, при продолжении будут сходиться в точке К, так как отношение весьма мало

отличающееся от отношения радиусов этих дуг, равно , или точно равно отношению длин тех же дуг. Отсюда следует (с помощью тех же соображений относительно различных прямоугольных элементов, на которые можно разделить до изгиба ибо либо всякую другую фигуру посредством параллелей и перпендикуляров к линии нейтральных волокон), что четырехсторонник представляет собой новую форму, принятую данным прямоугольным сечением; таким же путем, посредством ряда дуг окружности, мы получим различные точки нового контура для другого сечения какой-либо формы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление