Главная > Разное > Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Следствия. Изменение плоскостей давления. Плоскостл, слегка наклоненные друг к другу

Рассмотрим три плоскости, имеющие центр в одной и той же точке и перпендикулярные, соответственно, к трем прямым х, у, z, расположенным под прямыми или косыми углами друг по отношению к другу. Обозначим через

составляющие давлений на единицу поверхности в направлении тех же прямых; при этом первый индекс обозначает плоскость посредством указания ее нормали, а второй — направление составляющей. Тогда из второй теоремы предыдущего параграфа получаем три равенства:

так что эти девять величин сводятся к шести:

Первые три называются нормальными давлениями.

Последние три являются касательными давлениями, когда прямые х, у, z взаимно-перпендикулярны, поскольку тогда z проходит на грани, перпендикулярной к у, и т. д.

Первая теорема позволяет получить составляющую в произвольном направлении давления, действующего на другую какую-либо грань, имеющую центр в той же точке тела, как функцию шести составляющих (12).

Действительно, пусть нормаль к этой грани; — углы, образованные с прямоугольными осями х, у, z.

Если площадь этой грани равна единице, то площади ее проекций на три плоскости, перпендикулярные к х, у, z, будут Умножая эти площади на составляющие направленных по х давлений, которые испытывают единичные площадки каждой поверхности, получаем на этих гранях составляющие:

В соответствии с приведенной теоремой их сумма будет составляющей давления, испытываемого новой гранью; рассуждая подобным же образом в отношении осей у и z, получаем формулы:

Если теперь мы спроектируем на направление прямой составляющей углы с осями х, у, z, сложим эти проекции (которые будут предыдущими выражениями, умноженными, соответственно, на то получим следующее выражение для составляющей в направлении давления на единицу поверхности грани, перпендикулярной к

(где ).

Нетрудно видеть, что это выражение пригодно и в случае, когда х, у, z не составляют прямых углов, а образуют между собой углы, несколько отличные от прямого, если только представляют в этом случае углы, составленные не с линиями х, у, z, а с линиями, несколько отличными от последних, линиями, по которым

пересекаются три плоскости, перпендикулярные к осям х, у, z.

Выражение (14) служит, как и формулы (5) § 6, дающие удлинения и сдвиги для замены давлений на трех плоскостях, которые могут образовывать между собой прямые или почти прямые углы, давлениями на других

плоскостях, образующих между собой какие-либо близкие к прямым углы, которые обычно принимаются за прямые.

Отсюда можно получить большое число замечательных теорем, основные из которых составляют предмет пятой лекции Ламе по теории упругости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление