Главная > Разное > Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 99. Кривые, представленные уравнениями, в которых радиус-вектор имеет отрицательные показатели степени. Кривые двенадцатой и шестнадцатой степеней и т. д.

Легко видеть, что все кривые с отрицательными показателями степени, представленные общим уравнением (204) § 92:

проходят через центр или начало координат. Предположим, например, что высший отрицательный показатель степени равен — 4.

Рис. 50.

Удаляя знаменатель, т. е. умножая на получаем:

Это уравнение удовлетворяется при откуда

Таким образом, в центре пересекаются четыре ветви кривой, которые имеют касательные составляющие углы осью и ее продолжением (рис. 50).

Если высший отрицательный показатель степени равен — 8, то можно видеть, что уравнение удовлетворяется при откуда

Таким образом, центр представляет собой кратную точку, в которой пересекаются восемь ветвей кривых, наклоненных под углами

к оси и ее продолжению.

Подобные кривые могут нам подойти, если только ветви, которые пересекаются в центре не являются бесконечными, а изгибаются розеткой и объемлются без касания другой замкнутой кривой, которая будет в таком случае единственной кривой, рассматриваемой как основание призмы.

Это имеет место для уравнения

Но объемлющие кривые, которые можно получить из этого уравнения десятой степени относительно у и z, меньше отличаются от круга, чем кривые, которые мы могли получить (§§ 94, 95) из уравнения четвертой степени.

Впрочем, переплетения контуров являются причиной осложнений и трудностей.

Итак, мы считаем, что для получения кривых более разнообразных видов, чем описанные в §§ 94—98, например кривых с выступающими ребрами, у которых малый диаметр был бы меньше половины большего диаметра, следует придерживаться положительных показателей и прибегать к уравнению двенадцатой степени

или к аналогичному уравнению шестнадцатой степени. Они могут быть сведены к третьей или четвертой степени относительно если заменить на на на Уравнение шестнадцатой степени сводится также к уравнению второй степени относительно если члены а отсутствуют; но поскольку оно не изменяется при подстановке а вместо а, то дает восемь одинаковых точек вместо четырех.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление