Главная > Разное > Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Зависимости удлинений и сдвигов от весьма малых перемещений

Если координаты точки в новом положении тела, а ее первоначальные координаты были х, у, z, то величины

являющиеся функциями координат представляют

собой проекции перемещения этой точки на неподвижные оси х, у, z, или ее перемещения по их направлениям.

Если предположить, что перемещения очень малы, то легко видеть, что удлинения и сдвиги (§ 6) можно просто выразить посредством их дифференциальных коэффициентов первого порядка. Но это верно лишь для средних перемещений молекулярных групп (§ 3), а не для действительных или индивидуальных перемещений. Последние перемещения могли бы быть представлены только сложными функциями, от которых следовало бы взять также производные высших порядков и в большомчисле, чтобы получить извилистую или волнистую форму (§ 4), которую прио бретают ранее прямые линии длинойв некоторое число молекулярных промежутков.

Рис. 10

Совместим новое положение точки с ее первоначальным положением путем малого поступательного перемещения тела, равного, но противоположного перемещению этой точки. Пусть являются линиями, в которые при средних перемещениях превращаются линии параллельные трем осям координат (рис. 10). Тогда малый отрезок являющийся проекцией на продолжение линии будет представлять собой перемещение и точки х, уменьшенное на перемещение точки вызванное поступательным смещением. Его частное при делении на будет если очень мало (§ 3), и будет выражать (§ 4) удлинение в направлении х. Так как можно сказать то же самое для направлений у и z, то получаем:

Что касается сдвигов, то угол плоскость которого образует с плоскостью только чрезвычайно малый

двугранный угол, может рассматриваться как равный своей проекции на плоскость Итак, малая линия проведенная параллельно последней плоскости между линиями есть нечто иное, как перемещение точки вычетом перемещения точки при произведенном поступательном смещении. Следовательно, если мы принимаем то получаем Отсюда малый угол равен

Мы также докажем, что малый угол равен отсюда вытекает, что после уменьшения, полученного прямым углом он стал слегка острым углом следовательно (§ 5), сдвиг равен т. е.

Когда перемещения не очень малы, то для относительных удлинений и сдвигов получаем менее простые выражения через перемещения, чем (10) и (11).

Ограничиваясь рассмотрением только малой части упругого тела, мы всегда можем посредством поступательного смещения добиться того, чтобы новые положения точек были весьма близки к прежним. Разумеется, при перемещениях должно выполняться условие незначительности изменения малых расстояний, указанное (§ 5) как необходимое для сохранения сплошности тела.

Таким образом, перемещения последовательно приводятся для каждой части тела к весьма малым. Это позволяет в большинстве случаев вычислять перемещения путем постепенного сложения, пользуясь только формулами (10) и (11); соответствующие примеры даны ниже.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление