Главная > Физика > Общий курс физики. Молекулярная физика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Формула Максвелла для относительных скоростей

Для решения многих задач удобно пользоваться формулой Максвелла в форме, которая получается, если выразить скорости молекул не в обычных единицах, а в относительных, приняв за единицу скорости наивероятнейшую скорость молекул Относительная скорость и, следовательно, равна

Здесь заданная скорость молекул, наивероятнейшая скорость при данной температуре. Как мы только что выяснили,

В формулу Максвелла

дважды входит выражение Заменив в ней это выражение равным ему выражением и обозначив буквой и, можно уравнению Максвелла придать вид

Это уравнение — универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.

Подобное же уравнение можно составить и для функции распределения молекул по составляющим скорости по осям координат.

Если, например, идет речь о х-компоненте скорости, то, введя и здесь относительную скорость можно представить функцию распределения (12.5) в виде

Для решения различных задач, связанных с распределением молекул по скоростям, удобно пользоваться формулами распределения именно в форме (16.1) и (16.2). На рис. 19 представлена кривая распределения для относительных скоростей.

Функции

могут быть заранее вычислены для различных значений и и их и представлены в виде графиков, по которым и можно определять искомые величины. В табл. 1 представлены значения этих функций, вычисленные с достаточной для решения многих задач точностью.

Таблица 1 (см. скан)

Рис. 19.

Пусть, например, требуется найти долю частиц азота при комнатной температуре (300 К), скорости которых заключены между 275 и 276 м/с.

Прежде всего находим наивероятнейшую скорость:

Относительная скорость и равна:

Из выражения следует, что . В данном случае интервал скорости, равный достаточно мал и можно считать, что По графику, который каждый может построить по данным таблицы 1, находим, что относительной скорости соответствует значение функции

Отсюда

Значит, только 0,17% всех молекул обладают скоростями, лежащими в указанном в задаче интервале скоростей.

Одной из интересных задач, связанных с распределением молекул по скоростям, является определение доли всех молекул, скорости которых превышают заданную. Для решения таких задач также удобно пользоваться формулой Максвелла для относительных скоростей, т. е. формулой

Ясно, что если нужно найти долю молекул, скорости которых превышают некоторое заданное значение а значит и определенное и, то уравнение нужно проинтегрировать в пределах от заданного и до бесконечности, так что

где — это число молекул, относительные скорости которых больше заданного и. Следовательно, решение задачи сводится к вычислению стоящего здесь интеграла. В табл. 2 приведены его значения для различных значений и. Из таблицы видно, что число молекул, чьи скорости превышают наиболее вероятную, т. е. молекул составляет 57,24% всех молекул в газе — более половины.

Таблица 2 (см. скан)

Это значит, что кривая распределения Максвелла не симметрична относительно максимума, что ясно видно и из представленных выше графиков (см. рис. 14, 18, 19).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление