Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.8. Практическая реализация граничных условий

Как следует из уравнений (1.30), (1.49), при решении задачи методом конечных элементов требуется нумерация переменных некоторым специальным образом. Чтобы получить уравнения в данном виде, необходимо все фиксированные потенциалы нумеровать последними, а свободные потенциалы должны быть пронумерованы первыми. На практике, однако, не всегда удобно перенумеровывать переменные и соответственно разделять матрицы. К счастью, перенумерация и разбиение требуются только для целей объяснения; в практических расчетах необходимость в них отсутствует.

Рассмотрим вновь очень простую двухэлементную задачу, показанную на рис. 1.3,б. Предположим, что потенциалы 3 и 4 фиксированы, а 1 и 2 свободны. Другими словами, нумерация переменных находится в полном соответствии со схемой, использованной выше. Следуя (1.49), получаем следующее матричное уравнение:

О потенциалах с высокими номерами, имеющих фиксированное значение, много не скажешь. Единственным уравнением, которое может быть использовано для их описания, является тождество

где любая квадратная диагональная матрица. Уравнение (1.52) является просто подтверждением того, что фиксированные потенциалы таковы, каковы они есть на самом деле.

Уравнение (1.52) может быть объединено с уравнением (1.51)

Далее допустим, что введена произвольная нумерация для потенциалов, при которой свободные и фиксированные потенциалы не обязательно берутся в какой-либо особой последовательности. Например, допустим, что вершины 1—2—3—4 перенумерованы на 2—4—1—3, так что фиксированные потенциалы теперь остаются на узлах 1 и 3. Очевидно, что в результате перенумерации физическая задача не изменилась никоим образом, только строки и столбцы матрицы коэффициентов в уравнении (1.53) переставляются в новой последовательности в соответствии с новой нумерацией. Поэтому (1.53) принимает вид

Пустые места в матрицах означают, что матричные элементы здесь равны нулю. Это является следствием структуры задачи и не зависит от физических размеров или свойств материала.

Несмотря на то что уравнение (1.54) имеет больше строк и столбцов, чем уравнение (1.51), и стоимость его решения на ЭВМ выше, нет никакой необходимости в особенной нумерации вершин треугольников и потенциалов. Они могут быть пронумерованы в любом удобном порядке. Так, увеличенная стоимость решения матричной задачи, по крайней мере частично, компенсируется экономией работы, которую необходимо затратить на перенумерацию и переформулирование уравнений.

На практике в качестве диагональной матрицы зачастую берется единичная матрица Иногда используют матрицу элементы которой очень велики или малы по сравнению с единицей, поэтому учет ошибок округления при вычислениях может диктовать различный выбор Например, если матричные элементы оказываются величинами порядка то при расчетах на ЭВМ с семью значащими цифрами они могут быть ошибочно положены равными нулю. К счастью, такие случаи бывают редко, поэтому равенство

используется очень часто. При этом уравнение (1.54) упрощается

Равенство (1.55) означает, что построение уравнений конечных элементов и наложение граничных условий могут выполняться и на основе последовательной нумерации элементов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление