Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.7. Моделирование источника

Решение уравнения Пуассона методом конечных элементов предусматривает процедуру, подобную той, которая была применена для уравнения Лапласа. Область определения решения будет триангулирована, как показано на рис. 1.5, и сначала будет исследован типичным треугольный элемент, изолированный от всех остальных.

Так как первое слагаемое правой части (1.34) совпадает с правой частью уравнения (1.2), то процесс дискретизации приводит к тому же результату, что и для связанной модели, т. е. к уравнению (1.25). Для второго слагаемого правой части уравнения (1.34) требуется аналогичная процедура, лишь несколько отличающаяся в деталях.

В каждом из треугольных элементов заданная плотность тока аппроксимируется аналогично потенциалу

Коэффициенты в правой части этого выражения представляют собой значения плотности тока в вершинах треугольника. Эти значения, конечно, известны, поскольку плотность тока — заданная функция. Поэтому интеграл в правой части (1.40) может быть записан в виде

где неизвестными являются лишь значения потенциалов в вершинах треугольника. Для каждого элемента введем квадратную матрицу третьего порядка, определяемую выражением

Тогда интеграл (1.42) приобретает вид

где верхний индекс идентифицирует элемент, а область интегрирования, естественно, соответствует этому элементу.

Для разъединенного набора треугольных элементов функционал (1.34) можно записать в форме

Взаимосвязь элементов выражается в требовании непрерывности потенциала и, следовательно, в преобразовании, аналогичном (1.23). Таким образом,

Минимизация по всем варьируемым узловым потенциалам приводит к системе уравнений

матричная форма которой имеет вид

Это уравнение является разрешающим для данной граничной задачи.

Вообще говоря, на плотность источников не наложено требование непрерывности на границах между элементами. Поэтому, за исключением особых случаев, не требуется проводить никаких дальнейших преобразований в правой части уравнения (1.48).

Рис. 1.6. Решение задачи для паза в роторе, представленной на рис. 1.5.

Поскольку дифференцирование в уравнении (1.47) выполняется лишь по отношению к варьируемым потенциалам, то матрица в уравнении (1.48) является прямоугольной. Она содержит стольку строк, сколько имеется свободных узлов (где потенциал не определен граничными условиями), и столько столбцов, сколько имеется всех узлов в модели. Как и в уравнении (1.30), разделим вектор узловых потенциалов таким образом, чтобы все свободные потенциалы находились в его верхней части, а все заданные потенциалы — в нижней части. Матрица также разделяется и получается аналогичное (1.30) соотношение

Как и прежде, нижние индексы относятся соответственно к свободным и заданным значениям потенциалов. Поскольку последние значения известны, целесообразно перенести их в правую часть

Решение этого уравнения определяет неизвестные значения узловых потенциалов и, следовательно, является решением задачи.

Интересно отметить, что правая часть уравнения (1.50) сочетает в себе вклад как источника (неоднородной части

уравнения (1.33)), так и заданных граничных значений (т. е. неоднородной части граничных условий). Таким образом, нет коренного различия между представлением однородного дифференциального уравнения с неоднородными граничными условиями, с одной стороны, и неоднородного дифференциального уравнения с однородными граничными условиями — с другой.

Решение, в котором используется довольно простая триангуляция (рис. 1.5), показано на рис. 1.6. Точно так же как и в случае уравнения Лапласа, граничные условия Дирихле строго выполняются, тогда как граничные условия Неймана не выполняются. Как видно на рис. 1.6, последние условия локально нарушаются, но удовлетворяются в среднем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление