Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.6. Уравнение Пуассона

Если в пределах области имеются распределенные источники, то для решения задачи может быть использован подход, аналогичный вышеприведенному, с той лишь разницей, что в схему решения должны быть явно включены распределения источников. В качестве простого примера на рис. 1.5 показан проводник электрической машины, лежащий в пазе. Можно легко показать, что магнитное поле в пазе может быть описано векторным потенциалом А магнитного поля, который удовлетворяет уравнению Пуассона в векторной форме. Если паз и проводник предполагаются бесконечно длинными, то плотность тока и векторный потенциал А содержат только продольные компоненты. В этом случае векторное уравнение Пуассона вырождается в свой скалярный эквивалент

Если магнитопровод электрической машины предполагается бесконечно проницаемым, нормальная производная от А на центральной линии в щели и на всех поверхностях магнитопровода должна быть равна нулю. Далее, любое постоянное значение А определяет линию магнитного потока. Тем самым ясно определяются граничные условия для данной

Рис. 1.5. (см. скан) Паз в роторе электрической машины и его модель из треугольных конечных элементов.

задачи. Вариационной задачей, эквивалентной решению уравнений Пуассона, в данном случае оказывается минимизация связанного с энергией функционала

Для доказательства того, что этот функционал достигает минимума истинном решении уравнения (1.33), допустим, что причем некоторая дифференцируемая функция, которая обращается в нуль во всех граничных точках, где А задано, числовой параметр. При этом

Вновь используя теорему Грина, преобразуем второе слагаемое в правой части этого выражения

Контурный интеграл в правой части обращается в нуль, так как либо либо нормальная производная от А обращаются в нуль на границе. Поскольку А есть точное решение уравнения (1.33), то равенство (1.36) можно переписать в ином виде, воспользовавшись следующим выражением для второго слагаемого правой части (1.36):

Таким образом, функционал (1.35) упрощается

Поскольку интеграл в правой части этого выражения всегда положителен, то очевидно, что минимум достигается при Соответственно достигает своего минимального значения при

Отметим, что энергия поля определяется обычным выражением

которое при учете уравнения (1.33) и граничных условий принимает вид

В минимуме функционал очевидно, имеет отрицательное значение, равное по величине полной энергии Как и в предыдущем случае, поправка к F (1.38) пропорциональна Поэтому при малых точность, с которой может быть найдена энергия, очень высока даже при не очень точных локальных значениях потенциалов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление