Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение. Некоторые формулы для треугольных элементов

Вычисления элементов матрицы, приведенные в гл. 3 и обобщенные в гл. 6 для трехмерной задачи, базируются на двух соотношениях: формуле интегрирования (3.33) и равенствах (3.28). Ниже приведен краткий вывод этих ключевых соотношений.

П.1. Интегрирование в однородных координатах

При построении матрицы для треугольных элементов необходимо вычислить определенный интеграл

Эту задачу можно выполнить с помощью перехода к симплексным координатам интегрирования, когда элемент площади принимает вид

Так как переход от декартовых к симплексным координатам определяется соотношениями

где А — площадь треугольника, то вычисление якобиана не представляет сложности и приводит к выражению

Следовательно, формулу можно записать в виде двойного интеграла

Интегрируя по. частям, получим

и, следовательно,

Применяя дальнейшее интегрирование по частям, получим

В правой части формулы интегрирование осуществляется лишь по одной симплексной координате. Выполняя элементарное интегрирование, находим в результате

что и соответствует формуле (3.33).

Аналогичный метод применим для тетраэдра (см. гл. 6). Основное отличие состоит лишь в том, что интегрирование выполняется не с тремя, а с четырьмя симплексными координатами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление