Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.2. Треугольное разложение матриц

Для реализации метода конечных элементов наибольшее распространение в настоящее время нашли программы, включающие тот или иной вариант треугольного разложения Гаусса. По существу этот метод мало отличается от обычно изучаемого в школе метода последовательного исключения переменных. На каждом этапе исключается одна переменная и так продолжается до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным. Когда это последнее неизвестное определено, оставшиеся неизвестные находятся последова тельно в обратном порядке с помощью подстановки уже известных величин. Эти две фазы процесса обычно называются прямым исключением и обратной подстановкой.

В больших программах метод треугольного разложения служит в первую очередь для операций с матрицей коэффициентов. Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что симметричная положительно определенная матрица, какой обычно и является матрица конечных элементов. Можно показать, что такая матрица всегда может быть записана в виде произведения двух «треугольных» матриц

где нижняя треугольная матрица, которая выше главной диагонали содержит лишь нулевые элементы, верхний индекс означает транспонирование, так что есть верхняя треугольная матрица. Процесс вычисления нижней треугольной матрицы называется треугольной факторизацией или треугольным разложением, а матрица известна как нижний треугольный множитель матрицы Требование положительной определенности матрицы физически соответствует требованию, чтобы энергия была положительной для любого возбуждения. Это требование, конечно, удовлетворяется для реальных физических систем.

Попробуем теперь решить матричное уравнение, которое типично для метода конечных элементов

Для этого, согласно (7.2), разложим на множители матрицу и представим данную операцию в виде пары уравнений

где вспомогательный вектор. Поскольку треугольная матрица, то строка может содержать ненулевые элементы только в первых столбцах. В частности, первая строка содержит только один ненулевой элемент, так что первая компонента может быть легко вычислена. Вторая строка содержит только два ненулевых элемента, следовательно, она связывает только две первые компоненты но так как первая компонента известна, то теперь может быть вычислена и вторая. Таким образом, решаем систему уравнений (7.4) относительно Далее, поскольку матрица также треугольная, аналогичный процесс используется для отыскания х из уравнения (7.5), только теперь требуется обратный порядок операций, так как верхняя, а не нижняя треугольная матрица.

Очевидно, что ключ к решению уравнений лежит в треугольном разложении матрицы коэффициентов Необходимые для этого шаги становятся ясными из анализа

ожидаемого результата. Детальная запись равенства (7.2) имеет вид

Заметим, что суммирование по проводится только до поскольку элементы над диагональю равны нулю. Для диагональных элементов уравнение (7.6) может быть решено и приводит к соотношению (суммирование по повторяющемуся индексу не производится)

Первая строка содержит один диагональный элемент

Во второй (и каждой последующей) строке сумма в формуле (7.6) содержит не больше слагаемых, чем номер столбца При последовательной обработке строк каждый раз появляется только одно неизвестное. Таким образом, этот несложный метод кратко можно описать следующей последовательностью операций:

1) положить

2) в каждой строке вычислить поддиагональный элемент столбца

и диагональный элемент

пока не будет вычислена вся матрица Для иллюстрации рассмотрим симметричную положительно определенную матрицу "

Места всех нулевых элементов в матрице оставлены пустыми.

Легко показать, что при использовании описанного метода матрица (7.10) имеет треугольный множитель (нижнюю) треугольную матрицу):

Правильность данного выражения может быть, конечно, проверена перемножением матриц согласно уравнению (7.2).

Для завершения примера предположим, что вектор у в правой части уравнения (7.3) равен

Решая уравнение (7.4) описанным выше способом исключения переменных, получим вспомогательный вектор

Тогда искомый вектор х можно определить, решая уравнение (7.5)

Для любой данной матрицы процесс треугольного разложения выполняется лишь один раз. Если будет задано несколько наборов у, то исключение и обратная подстановка должны будут выполняться для каждого из них отдельно. Однако при этом, как будет показано ниже, относительный объем вычислительной работы по исключению переменных и обратной подстановке невелик.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление