Глава 7. Численное решение уравнений метода конечных элементов

7.1. Введение

В методе конечных элементов задачи, описываемые интегральными или дифференциальными уравнениями, заменяются на эквивалентные задачи матричной алгебры, для решения которых используются ЦЭВМ.

Так, для граничных задач или интегральных уравнений Фредгольма в электромагнетизме метод конечных элементов приводит к матричному уравнению вида

где матрицы, неизвестный вектор, компоненты которого требуется определить, у — известный вектор, скалярный параметр. Это уравнение имеет нетривиальное решение, когда А — положительно определенная матрица и либо известно и у не равняется нулю, либо неизвестно и у тождественно равно нулю.

Задачи первого типа обычно называются детерминированными, поскольку они дают единственный вектор решения х (при условии, что значение не соответствует ни одному решению второго типа). Второй тип задач называют задачами на собственные значения; они имеют столько решений для х, сколько строк в матрице, причем каждое соответствует одному частному значению Значения получаются в результате решения, так что каждое решение по существу представляет скалярно-векторную пару На первый взгляд может показаться, что в этом случае система из уравнений дает решение, компонентов х и значение Однако это не так. Поскольку подобные уравнения всегда однородны, их решения однозначны лишь с точностью до постоянного множителя, т. е. если решение, то тоже является решением произвольное число). Следовательно, вектор х имеет только степеней свободы.

Многие полезные для практики двумерные задачи теории поля приводят к матричным уравнениям с переменными, а для расчета трехмерных векторных полей в сложных геометрических структурах может потребоваться переменных. Для современных ЭВМ решение совместной системы ста уравнений не составляет

проблемы независимо от структуры матрицы коэффициентов. Систему тысячи уравнений также можно легко решить, если матрица коэффициентов содержит много нулей и программа организована так, чтобы использовать это преимущество. При полной матрице коэффициентов, содержащей всего несколько нулевых элементов или вовсе не содержащей их, 103 уравнений — довольно большое число, так как для запоминания только матрицы коэффициентов потребуется около четырех мегабайт памяти ЭВМ.

Как правило, матрицы коэффициентов, полученные из интегральных уравнений, оказываются полными или почти полными. С другой стороны, дискретизация дифференциальных уравнений методом конечных элементов обычно дает разреженные матрицы, так как любая узловая переменная непосредственно связывается только с узловыми переменными того же конечного элемента. Следовательно, количество ненулевых элементов в строке матрицы зависит от типа используемых элементов и мало зависит от типа задачи. Поэтому большие системы уравнений, полученные дискретизацией дифференциальных уравнений, обычно очень разреженные.

Данная глава посвящена наиболее общим методам, используемым в настоящее время для решения детерминированных задач, возникающих при их анализе методом конечных элементов. Решение уравнений, как и многое другое в технике метода конечных элементов, — это весьма специализированная область. Поэтому новичку в этой области целесообразно использовать уже готовые программы и не пытаться писать их самому. Цель, которую мы здесь преследуем, как раз и состоит в том, чтобы дать читателю некоторое представление о программах, которыми он мог бы воспользоваться.