Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.5. Решение задачи

В предыдущих двух разделах энергия приближенного непрерывного распределения потенциала была представлена в квадратичной форме, включающей вектор-столбец узловых

потенциалов. Чтобы получить приближенное решение уравнения Лапласа, остается минимизировать запасенную энергию в модели связанной системы конечных элементов. Поскольку выражение для энергии (1.25) квадратично относительно узловых потенциалов, то оно должно иметь единственный минимум как функция каждой составляющей вектора потенциалов и. Следовательно, требование минимума энергии будет соответствовать системе уравнений

Здесь индекс относится к узловым компонентам вектора связанных потенциалов, и, что эквивалентно, к номерам узлов в связанной модели. Система уравнений (1.28) имеет тривиальное решение соответствующее обращению в нуль всех узловых потенциалов и полной потенциальной энергии. Однако такая неограниченная минимизация не соответствует граничной задаче в ее первоначальной постановке, представленной на рис. 1.1. Действительно, в решаемой граничной задаче определенные участки границы имеют заданные потенциалы; следовательно, определенная незначительная часть потенциалов, содержащихся в векторе и, должна принимать, вообще говоря, отличные от нуля заданные значения. Предположим, что нумерация узлов в связанной модели такова, что все узлы, в которых потенциалы могут варьироваться, нумеруются первыми, а все узлы с заданными потенциалами — последними. Например, на рис. 1.1,а узлы в пространстве между проводниками (где потенциалы подлежат определению) должны быть пронумерованы первыми, а все узлы, лежащие на поверхностях проводников (где потенциалы заданы), нумеруются последними. Тогда система уравнений (1.28) может быть записана с использованием матрицы в блочной форме

где нижние индексы относятся соответственно к узлам со свободными и заданными потенциалами. Выполняя дифференцирование в системе (1.29), получаем следующее матричное уравнение:

Прямоугольная матрица коэффициентов в этом уравнении содержит столько строк, сколько имеется неограниченных (свободных) переменных но число столбцов равно общему

числу свободных и заданных узловых потенциалов. Уравнение (1.30) можно записать в виде

Матрица коэффициентов в левой части этого уравнения — квадратная и, вообще говоря, не особенная. Поэтому формальное решение задачи можно представить в следующей форме:

Приближенное численное решение задачи имеет вид ряда значений узловых потенциалов.

Рис. 1.4. Контуры сечения эквипотенциальных поверхностей в коаксиальной линии (условия задачи приведены на рис. 1.1, а).

Однако важно отметить, что решение задачи методом конечных элементов является единственным и точно определенным везде, а не только на вершинах треугольников, ибо минимизация энергии предполагает особую форму поверхности решения. Ряд значений узловых потенциалов является просто компактным представлением кусочно-планарной поверхности решения, которое дает минимум энергии.

В пределах каждого треугольника локальные значения потенциалов описываются выражением (1.6). Следовательно, не требуется никакой дальнейшей аппроксимации для получения графиков эквипотенциалей или для расчета полной запасенной энергии, или для выполнения любых других дальнейших

манипуляций. Поскольку в этом методе потенциал в каждом элементе определяется линейной интерполяцией его узловых значений, картина эквипотенциалей будет состоять из кусочно-прямолинейных контуров. В качестве примера на рис. 1.4 показана картина эквипотенциалей для задачи, приведенной на рис. 1.1, а. Следует обратить внимание, что граничные условия Дирихле (требующие, чтобы потенциал принимал заданные значения на границах) удовлетворяются точно, потому что значения потенциалов в узлах, расположенных на границах, задаются явно при составлении уравнений (1.30), (1.31). С другой стороны, однородное граничное условие Неймана (т. е. требование обращения в нуль нормальной производной) удовлетворяется не точно, а лишь в некотором усредненном смысле — обращении в нуль слагаемого с контурным интегралом в выражении (1.4). Конечно, можно было бы потребовать строгого выполнения этого граничного условия, но при этом возросла бы энергия поля, так что решение стало бы фактически менее точным. Этот вопрос будет детально рассмотрен ниже. Грубо говоря, полученная в данной процедуре ошибка из-за неточного удовлетворения условия Неймана приводит к увеличению точности в области определения решения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление