Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.4. Трехмерные задачи в теории распространения электромагнитных волн

В этом разделе рассматривается задача о нахождении в установившемся режиме гармонически изменяющихся во времени с частотой со электромагнитных полей в волноводах

или резонаторах, содержащих элементы произвольной формы, выполненные из идеально проводящих материалов, либо линейных, изотропных диэлектриков и Магнитных материалов без потерь. Предполагается, что рассматриваемые системы всегда ограничены идеальными проводниками, кроме отдельных поверхностей, на которых заданы тангенциальные составляющие поля. При этом вся область определения полей, конечно, замкнута.

Задачи такого рода возникают при определении характеристик рассеяния на неоднородностях в волноводах и при анализе СВЧ-резонаторов. Во многих случаях решение возможно в двумерном приближении, но неизбежно встречаются и такие ситуации, когда единственно приемлемым является трехмерный анализ. Хотя использование для этой цели в общем не исключается, сложности в применении трехмерных краевых условий для этих переменных указывают на целесообразность использования непосредственно векторов поля Можно показать, что в таких случаях функционалы (2.62) и (2.72) приводятся непосредственно к выражениям

где относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости. (Тонкие различия между значениями удовлетворяющими уравнениям Максвелла, и пробными функциями, которые обеспечивают стационарность функционала, в настоящем разделе не обсуждаются.)

Соотношения (6.124) и (6.125) были выведены в гл. 2 в предположении о том, что могут принимать комплексные значения, что соответствует либо пространственному, либо временному затуханиям. Однако многие задачи касаются случаев без потерь, в которых являются чисто вещественными величинами. Тогда ясно, что как вещественная, так и мнимая части комплексного выражения должны по отдельности удовлетворять уравнению

Анализ показывает, что стационарный функционал соответствует уравнению (6.126) и краевым условиям (см. разд. 2.4). Таким образом, по отдельности достигают экстремума для функций, соответствующих решению

электродинамической задачи. Поскольку

где величина, комплексно сопряженная с то очевидно, что функционал

стационарен при условии, что рассматривается случай без потерь. Можно также показать, что и функционал

стационарен для случая без потерь.

Подобные рассуждения позволяют записать функционалы для электрического поля, альтернативные функционалу (6.125). Функционал (6.128) и его аналог для электрического поля использовались Феррари и Мейлом [5] для построения системы уравнений методом конечных элементов, необходимой для решения задачи о неоднородностях в волноводе. При этом использовались тетраэдральные элементы первого порядка. Этот подход здесь будет расширен и развит на основе более общих функционалов (6.124) и (6.125). Будем использовать уравнения для магнитного поля Однако, после того как поле приближенно найдено методом конечных элементов, можно при необходимости найти вектор с такой же точностью, используя уравнение Максвелла

Аналогичное рассмотрение возможно и для вектора поскольку оказывается, что соответствующие программы для ЭВМ можно легко использовать для любой из этих переменных.

6.4.1. Решение для магнитного поля H

Рассмотрим замкнутую поверхность которая состоит из поверхностей и охватывает объем интегрирования На поверхности задается обобщенное однородное условие Неймана

которое в силу уравнения (6.130) и граничных условий для электрического поля соответствует идеально проводящей стенке или короткому замыканию цепи. На поверхности предполагается выполнение либо обобщенного условия

рихле, либо однородного условия

или же неоднородного условия

Однородное условие обращения в нуль тангенциальной составляющей соответствует плоскостям симметрии электрического поля (разомкнутая цепь), тогда как неоднородное условие — заданию тангенциальной составляющей на поверхностях или «окнах» вводов, соединяющих устройство с внешним пространством. В гл. 2 было показано, что если замкнутая поверхность образована из частей, например из поверхностей типа то тогда функционал определяемый выражением (6.124), стационарен. Практически это означает, что при любом расчете методом конечных элементов на любой идеально проводящей границе всем трем компонентам представлена возможность произвольно меняться без каких-либо ограничений. В случае же краевых условий Дирихле должны быть заданы две тангенциальные составляющие, и лишь одна нормальная компонента может свободно изменяться. Объем разбивается на тетраэдры, в каждом из которых характеристики материала постоянны, хотя и могут изменяться скачком на границах между элементами.

6.4.2. Выражения для единичного тетраэдра

В каждом тетраэдре поле аппроксимируется выражением

где вектор с тремя линейно независимыми симплексными координатами, рассмотренный в разд. 6.2.1, а одноиндексные интерполяционные полиномы, приведенные в разд. 6.2.2 и 6.2.3. Как и ранее, величина обозначает одну из узловых точек объема V, который разбит на ячейки для аппроксимации решения полиномом степени Для некоторого упрощения сложной системы обозначений часть индексов записана вверху, что не следует путать с возведением в степень. Другим элементом в записи, который можно опустить, является знак суммирования, подобный приведенному в выражении (6.134). Поэтому появление повторяющегося индекса, как, например, в формуле (6.134), будет означать суммирование по всем значениям (в данном случае Как

было показано в разд. 6.2.2 и 6.2.3, полиномы таковы, что пробная функция для (6.134) автоматически соответствует неизвестному набору векторов определяющему значения в каждом узле Выражение (6.134) можно подставить в функционал (6.124) для того, чтобы получить функционал, соответствующий только одному элементу

где компонента вектора в декартовой системе координат,

В выражении (6.138) суммирование по повторяющимся индексам не производится, индексы обозначают номера узлов тетраэдра, обозначают оси декартовых координат, индексы обозначают номера вершин тетраэдра, если если (символ Кронекера). При интегрировании в выражениях (6.136) и (6.137) следует иметь в виду, что Естественно, что совершенно безразлично, какое именно из исключается подобным образом. Получаемый результат соответствует схеме, установленной для случая одной переменной, и его можно сформулировать следующим образом:

1) находятся две матрицы которые не зависят от геометрии тетраэдра (если не считать масштабных изменений) и могут быть рассчитаны раз и навсегда;

2) определяется массив К размерностью 12 X 12, который должен рассчитываться для каждого элемента и который является простой функцией декартовых координат вершин тетраэдра, не включающей интегрирования по объему.

Матрица уже рассматривалась ранее в разд. 6.2. Матрица тесно связана с матрицей рассмотренной в том же разделе, однако она не обладает некоторыми видами симметрии, существовавшими в более простом случае. Вследствие этого сохраняется несколько более общая форма матрицы Матрицы были рассчитаны для полиномов вплоть до четвертого порядка и успешно использовались при расчете волноводов.

Используя функционал (6.135), можно записать соотношение для составляющих поля в узлах тетраэдра на языке симметричной матрицы и вектора-столбца

6.4.3. Построение глобальных матриц

Как и ранее, простая квадратичная форма выражения (6.139) позволяет записать функционал для объединенного ансамбля тетраэдральных элементов в виде

Таким образом, выражение (6.139) служит для представления как единичного тетраэдра, так и совокупности соединенных элементов при условии, что в последнем случае представляет глобальную матрицу, составленную определенным образом из массивов, описывающих отдельные тетраэдры, а является вектором, представляющим все компоненты поля в узлах объединенных тетраэдров. Как можно было интуитивно ожидать по аналогии с двумерными задачами, относительная магнитная проницаемость и относительная диэлектрическая проницаемость хотя они и считаются постоянными в пределах каждого тетраэдра, могут изменяться скачком при переходе от одного тетраэдрального элемента к другому. Это позволяет точно моделировать изменяющиеся по объему при условии, что объемы тетраэдров достаточно малы.

Теперь на соотношение для глобальной матрицы (6.139) должны быть наложены описанные ранее краевые условия. Как было показано в разд. 6.4.1, естественное однородное граничное условие Неймана, соответствующее идеальным проводникам, не требует каких-либо ограничений для переменных на границе. Однако условие Дирихле, соответствующее либо связи с внешним пространством через «окна» (неоднородные условия Дирихле), либо плоскости симметрии (одно родные условия Дирихле), требует ограничения на компоненты в плоскости границы. Для упрощения этого ограничения допускается, чтобы поверхности Дирихле состояли только из небольшого числа плоскостей, каждая из которых перпендикулярна одной из трех декартовых осей задачи. Затем, задав на плоскости, перпендикулярной, например, оси налагаем условия и полагая, что свободно изменяется. При этом матричное выражение

(6.139) представляется следующим образом:

Здесь являются соответственно вектор-столбцами свободных и заданных составляющих Наконец, чтобы найти соответствующее решение задачи, рассматривается экстремум функционала по отношению к вектору Это приводит к линейному матричному уравнению

которое может быть решено относительно неизвестного вектора

6.4.4. Применение к волноводным задачам

Приложением только что рассмотренного метода является определение характеристик рассеяния, вызванного неоднородностями в волноводных устройствах. Типичная структура показана схематически на рис. 6.9.

Рис. 6.9. Типичная задача о рассеянии в волноводном двухполюснике.

Два полых цилиндрических волновода с идеально проводящими стенками и различными поперечными сечениями сходятся к полости неправильной формы, содержащей линейный изотропный материал без источников поля. Задача состоит в вычислении матрицы рассеяния области соединения волноводов для основной моды в волноводе в отсчетных плоскостях

Матрица рассеяния СВЧ-многополюсника определяется через комплексные коэффициенты представляющие нормализованные амплитуды падающей и отраженной волны в каждом из концов волноводов. В случае двухпроводной передающей линии без потерь с характеристическим импедансом подсоединенной к входу многополюсного устройства, нормализованные амплитуды определяются через напряжения или токи падающей и отраженной волн

следующим образом:

Как следует из теории цепей, средняя мощность, поступающая на вход, равна

В таком случае определение матрицы двухполюсника не представляет трудностей

Как видно, матрица рассеяния представляет собой обобщенный коэффициент отражения по напряжению. Теория матриц рассеяния применительно к двухпроводным линиям с достаточной полнотой представлена в трудах Рамо, Уиннери и ван Дюзера [6] и Коллина [7]. Волноводы являются лишь несколько иным вариантом высокочастотных линий передачи. Поэтому анализ и применение параметров рассеяния, хотя они и следуют из другого подхода, можно свободно распространять на волноводы.

Поскольку в волноводах легко измерить коэффициенты отражения, в экспериментальном определении элементов матрицы рассеяния не возникает особых трудностей. Однако при попытке рассчитать по геометрическим и физическим характеристикам -полюсника обнаруживается, что в волноводах нельзя лачно определить токи и напряжения. Вместо этих величин определяются нормализованные амплитуды волн Чтобы получить однозначные результаты, необходимо отнести коэффициенты к конкретной волне (обычно к основной моде волновода). Действительные векторы и пропорциональные поперечным электрическим и магнитным полям (распространяющимся, например, в направлении ), определяются так, что

где плоскость, перпендикулярная оси волновода (ось волновой импеданс моды (см. работу [6], стр. 404, 409). Фактическое распределение поперечных полей в волноводе можно представить по отношению к плоскостям

в виде

Мощность СВЧ-волны, распространяющейся по волноводу, получаемая путем интегрирования вектора Пойнтинга по сечению волновода

равна

что согласуется с выражением (6.145).

Теперь можно сформулировать общий порядок определения матрицы 5. Для двухполюсника, показанного на рис. 6.9, поля в двух сечениях входного и выходного волноводов задаются соответственно с помощью произвольно выбранных коэффициентов

Такая запись представляет неоднородные условия Дирихле и завершает формулировку краевых условий для данной системы (напомним, что идеально проводящие стенки двухполюсника соответствуют однородному условию Неймана). Далее можно составить матрицы и записать заданные векторы, входящие в уравнение (6.142), и вычислить свободные для варьирования компоненты поля Сравнение выражения (6.150) и вычисленных значений поля вблизи плоскости позволяет определить коэффициенты отражения При этом предполагается, что плоскости расположены достаточно далеко от неоднородной области, так что все затухающие поля имеют здесь бесконечно малые амплитуды. Несложные алгебраические преобразования уравнения (6.146) показывают, что

Если все материалы в рассматриваемом двухполюснике изотропны, то Очевидно, для вычисления достаточно найти три независимых выражения для

Несмотря на то что с помощью рассматриваемого здесь метода можно рассчитывать участки волноводов с неоднородностями при наличии потерь, весь проводимый далее анализ будет ограничен случаем, когда потерь нет. Надо отметить,

что при таком ограничении матрицы в уравнении (6.142) будут чисто вещественными. Однако выражения для поля в уравнении (6.142) даже в случае без потерь, вообще говоря, будут комплексными. Поэтому, чтобы решить задачу по нахождению полей при отсутствии потерь, в общем случае необходимо использовать комплексные числа. Если, однако, где-либо в одном из волноводов, показанных на рис. 6.9, имеет место короткое замыкание или разомкнутая цепь, то все излучение, поступающее в волновод, будет полностью отражаться. Поскольку поток энергии при этом равен нулю, то везде внутри системы выполняется соотношение В системе связанных волноводов существует стоячая волна, которая в любой однородной части системы характеризуется бесконечным коэффициентом стоячей волны. Легко показать, что в таких случаях поля (6.149) и (6.150) можно представить вещественными числами. Очевидно, можно упростить задачу, предполагая, что одна из плоскостей «окон», например представляет разомкнутую цепь либо короткозамкнутую цепь выражения (6.149) и (6.150)). В этом случае одно из соотношений необходимых для определения будет известно заранее. Три требуемых значения коэффициента отражения можно получить, изменяя положение плоскости короткого замыкания или разомкнутой цепи сохраняя неизменным положение плоскости Заметим, что этот способ аналогичен обычному определению параметров рассеяния (см., например, книгу Сачера и Фокса [8]). Наряду с определением в плоскости можно использовать другую возможность, а именно изменять положение для каждого из трех выбранных положений В каждом из трех случаев при фиксированном в конце концов можно найти такое положение при котором решение для вектора из уравнения (6.142) даст бесконечную величину. Это соответствует определению положения узловой плоскости в резонаторе без потерь, который образуется при коротком замыкании в плоскости Пусть положение узловой плоскости определяется координатой рис. 6.10). Независимо от того, удастся ли найти подобную плоскость, она объективно существует (очевидно, при этом второй волноводный вход должен быть

Рис. 6.10. Положение опорной плоскости выходной плоскости и плоскости короткого замыкания 12 (реальной либо подразумеваемой).

достаточно протяженным). Тогда при так что в плоскости в соответствии с выражением (6.150)

Поскольку амплитуды поля считаются вещественными, то произвольная амплитуда при этом должна быть мнимой. Из выражения (6.156) очевидно, что требуемые коэффициенты отражения в плоскости

Значения находятся либо прямым, квазирезонансным методом, либо же в точках сетки слева от исследуются рассчитанные поля и определяется значение согласующееся с выражением (6.157).

6.4.5. Расчет S на основе функционала

Мы рассмотрели два довольно очевидных метода определения коэффициента отражения для короткозамкнутой или разомкнутой системы волноводов. В третьем, не столь очевидном методе используется функционал Этот метод сам по себе заслуживает достаточно подробного рассмотрения, так как воплощает принцип, вытекающий из стационарности функционала, который очень важен в методе конечных элементов. Несмотря на то что приближенный функционал строится кусочно из простых пробных функций в пределах каждого элемента, он все же очень близок к истинному значению Это обусловлено стационарностью функционала Если характеризует точность решения, полученного с помощью конечных элементов, то определяется с точностью до величины порядка

Выражаясь несколько упрощенно, функционал и производные от него величины являются результатом усреднения по всем узлам системы, тогда как методы, в которых используется сама величина соответствуют усреднению всего лишь по нескольким узлам.

Теперь исследуем значение функционала

Используем векторное тождество

так что формула (6.160) примет вид

Поскольку выражение обращается в нуль при удовлетворяющем уравнениям Максвелла, с помощью теоремы Остроградского — Гаусса получаем

Используя уравнение Максвелла

находим

Рассматривая теперь задачу об объемном резонаторе (первый вход волноводной системы характеризуется либо коротким замыканием либо разомкнутой цепью можно видеть, что поверхностный интеграл в выражении (6.165) обращается в нуль везде, кроме входной плоскости На плоскости второго входа из выражений (6.149) и (6.150) с помощью обозначения получаем

так что

Однако на были заданы условия Дирихле

По определению поэтому используя выражение (6.167), можно исключить и функционал принимает вид

Как уже отмечалось, является очень хорошим приближением к основанным на подстановке соотношение

Поэтому из формулы (6.170) можно получить хорошее приближение для следовательно, для Затем, как было

показано ранее, можно вычислить матрицу рассеяния по» мещая короткозамыкающую плоскость в трех различных местах волновода.

6.4.6. Металлическая сфера в волноводе

Описанные выше численные методы были реализованы в большой программе. Исходными данными в этой программе служат величина задаваемая для всей области задачи, и значения задаваемые для каждого отдельного элемента. Геометрические данные задаются посредством разделения объема задачи на гексаэдры и пентаэдры (восьмиугольные и шестиугольные «кирпичики»).

Рис. 6.11. Конечные элементы для расчета трехмерных полей. а) Гексаэдр — 8 узлов и 5 составляющих его тетраэдров, б) Пентаэдр — 6 узлов и 3 составных тетраэдра.

Программа обспечивает дальнейшее разделение указанных элементов на тетраэдры (по пять на гексаэдр и по три на пентаэдр — см. рис. 6.11). Вводится также информация о краевых условиях — однородное или неоднородное условия Дирихле. Решается матричное уравнение (6.142), и подстановкой в матричные уравнения обеспечивается возможность вычисления приближенного значения стационарного функционала

Типичной задачей, для решения которой действительно необходим трехмерный анализ, является расчет параметров рассеяния металлической сферы, размещенной симметрично внутри прямоугольного волновода, в котором распространяется волна основной моды (типы волн в волноводе рассмотрены в разд. 2.7). Благодаря симметрии задачи Как показано в работе Коллина [7], на основе закона сохранения энергии в системе без потерь в случае

имеет место выражение

Поэтому в данном случае необходимо определять только один комплексный параметр. В качестве переменной

(кликните для просмотра скана)

Рис. 6.14. Аргумент как функция для задачи о металлической сфере. Сплошная кривая получена методом возмущений Хинкена [9], штриховая — методом конечных элементов.

использовался вектор поэтому на криволинейной поверхности сферы и стенок волновода использовались естественные краевые условия (однородные условия Неймана). Задача имеет три плоскости симметрии, так что моделировать необходимо только одну восьмую ее часть. Использовалось девятнадцать пентаэдров и двадцать гексаэдров второго порядка. Две плоскости симметрии, параллельные оси волновода, обеспечивают «однородные границы Дирихле» (поперечные компоненты обращаются в нуль, на нормальные компоненты дополнительные условия не накладываются). Третья плоскость симметрии, рассекающая сферу пополам и перпендикулярная оси волновода, может быть принята либо за «плоскость короткого замыкания» (условие Неймана), либо за «плоскость разомкнутой цепи» (условие Дирихле). Это, очевидно, эквивалентно перемещению короткозамыкающей плоскости расположенной далеко от сферы, в два различных места, в то время как третья плоскость симметрии не используется. Поскольку определяться должен только один комплексный параметр перемещать закорачивающую плоскость в третье положение не требуется. Во входной плоскости с

для волны должно выполняться неоднородное условие Дирихле где (см. книгу [6])

А — произвольная постоянная. На рис. 6.12 показано использованное разбиение на элементы. Полученные результаты (рис. 6.13 и 6.14) сравниваются с другим и, по-видимому, единственным решением, полученным иным способом — методом возмущений Хинкена [9]. Как видно из этих рисунков, для сфер с малым относительным диаметром оба решения дают близкие результаты. Однако, как и можно было ожидать в случае применения метода возмущений, расхождение возникает, когда диаметр сферы приближается к наименьшему характерному размеру волновода (здесь размеры были Следует отметить, что метод конечных элементов не должен быть особенно чувствительным к размерам сферы, поэтому можно утверждать, что при расхождении результатов более точные данные обеспечивает метод конечных элементов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление