Главная > Разное > Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.3. Трехмерные задачи магнитостатики

Одной из особенно важных для практики трехмерных задач, не допускающих двумерного приближения, является определение магнитного поля катушки с током, расположенной в непосредственной близости от ферромагнитного материала с нелинейными характеристиками (насыщающегося стального магнитопровода).

Такая задача была сформулирована на основе векторного потенциала А в разд. 2.5, и упрощенный двумерный вариант ее был подробно рассмотрен в гл. 5. Однако в трехмерном случае необходимо учитывать три компоненты вектора А. Возникают также трудности, связанные с калибровкой Лоренца, что заставляет искать другой подход к решению задачи. Оказалось, что в данном случае целесообразно использовать скалярный магнитный потенциал.

6.3.1. Уравнение для скалярного потенциала

Вектор магнитной индукции В, обусловленный распределением тока вблизи нелинейного магнитного материала с магнитной проницаемостью зависящей от величины поля,

описывается следующими фундаментальными уравнениями:

Напряженность магнитного поля в области, где протекает электрический ток, можно, как и в разд. 4.5, представить в виде двух составляющих, соответствующих полю источника и наведенной намагниченности Им:

Поле источников можно получить непосредственно из уравнения Био-Савара, выполнив интегрирование по области содержащей токи

Это поле удовлетворяет соотношению

так что

Поэтому можно записать в виде градиента скалярного потенциала магнитного поля

В принципе это позволяет определить из уравнения

которое вытекает из соотношений (6.85) и (6.87). С учетом соленоидальности В, выраженной уравнением (6.86), в однородной линейной среде уравнение (6.92) приобретает вид

поскольку всегда Скачок величины на границе раздела сред требует применения граничных условий для полей (см. разд. 2.1). Если, однако, используемые материалы обладают большой магнитной проницаемостью, применение скалярного потенциала может натолкнуться на большие трудности при численном решении задачи (см. статью Симкина и Троубриджа [2]). Внутри таких материалов наведенное магнитное поле и поле источников в выражении (6.87) близки по величине и противоположны по знаку, так что ошибки определения многократно возрастают в результирующем поле И. Для иллюстрации рассмотрим простую задачу о ферромагнитном сердечнике с

одинаковой по всему объему магнитной проницаемостью размещенном внутри длинного соленоида с током (рис. 6.7). В таком соленоиде при числе витков на единицу длины и токе вектор магнитного поля направлен вдоль оси и определяется хорошо известным соотношением

где единичный вектор, направленный вдоль оси соленоида. Если сердечник заполняет поперечное сечение соленоида, то поле в этой области должно быть аксиальным и решение уравнения (6.93) имеет вид

и внутри сердечника

а за пределами сердечника везде внутри соленоида

Рис. 6.7. Магнитный сердечник в длинном соленоиде.

Требование непрерывности нормальной составляющей В на торцах сердечника, где имеет место скачок величины позволяет определить постоянную С из равенства

откуда получаем

Относительная магнитная проницаемость ферромагнитных материалов очень велика, ее значения могут достигать нескольких тысяч. В этом случае вполне вероятно взаимное, уничтожение в выражении (6.87)

6.3.2. Полный скалярный потенциал

Трудности в численном исследовании, обусловленные приблизительным равенством величин, входящих в выражение (6.87), можно обойти, если использовать то обстоятельство, что на практике электрические и магнитные цепи пространственно разнесены, т. е. занимают различные области, которые можно обозначить и Предположим, что область содержит все электрические токи и в ней нет магнитных материалов, а в находятся все магнитные материалы.

Поскольку в нет электрических токов, магнитное поле там можно представить полным скалярным потенциалом

В области содержащей токи, должно выполняться следующее соотношение для скалярного потенциала:

Но поскольку обычно можно считать, что то будет определяться уравнением Лапласа (6.93). Из уравнений (6.85) и (6.86) вытекает, что в области

Уравнения (6.93) и (6.102) должны решаться при наложении определенных условий на границе между именно: нормальная составляющая В и тангенциальная составляющая И на границе между областями должны быть непрерывны. Так, если единичный вектор, нормальный к поверхности разделяющей две области, единичный вектор, тангенциальный к поверхности, то

Видно, что уравнение (6.104) можно проинтегрировать по элементу дуги чтобы связать потенциалы в любых двух точках на поверхности раздела

где точка, в которой предполагаются равными.

6.3.3. Решение уравнений с двумя потенциалами

Характер задачи, рассматриваемой в настоящем разделе, иллюстрируется рис. 6.8. Мы будем основываться на анализе, выполненном в работе Симкина и Троубриджа [3]. Требуется определить магнитное поле в трехмерной системе, содержащей нелинейный магнитный материал (например, сталь), не несущий никакого электрического тока, и область, включающую диэлектрик с линейной характеристикой (обычно это воздух) и проводники с током (например, медные). Для описания магнитного поля в воздушном зазоре и внутри проводников с током, т. е. в области используется потенциал в соответствии с формулами (6.87) и (6.93). Предполагается, Что магнитное поле источников известно, так как оно

выражается через заданное распределение тока с помощью выражения (6.88). В области с насыщающимся магнитным материалом из-за описанных выше сложностей отказываются от представления с помощью потенциала и пользуются полным скалярным потенциалом

Рис. 6.8. Две потенциальные области: сталь, проводник с током или воздух,

Поэтому поля описываются уравнениями (6.101) и (6.102). На поверхности потенциалы связаны соотношениями (6.103) и (6.105). Полный набор соотношений приведен в табл. 6.3.

Таблица 6.3. (см. скан) Соотношения для потенциалов, описывающие трехмерную задачу магнитостатики вектор магнитного поля источников, -скалярный потенциал, У — полный скалярный потенциал

Пространство задачи разбивается на тетраэдральные элементы так, как это делалось в разд. 6.2. Большинство элементов при этом будет находиться полностью в одной из областей или Лишь некоторые из них расположены так, что на поверхность раздела попадает или одна их вершина, или ребро, или одна боковая грань. Будем считать, что тетраэдральные конечные элементы выбраны таким образом, что каждый элемент, касающийся поверхности раздела,

относится к одной из этих трех категорий. Решением задачи считается нахождение значений потенциалов или в каждой узловой точке. Отметим, что в узлах на поверхности должны быть определены значения обоих потенциалов, как так и

6.3.4. Решение методом Галёркина

В большинстве случаев, рассмотренных в данной книге, на этом этапе находился функционал, стационарный относительно переменных поля, и составлялись матричные уравнения для конечных элементов. Здесь же усложнение граничных условий на границе раздела между заставляет прибегнуть к другому мощному методу — методу взвешенных невязок, который иногда используется для построения матричных уравнений конечных элементов (Зенкевич [4]). В этом методе непосредственно используются дифференциальные уравнения в частных производных и краевые условия задачи, и поэтому он применим в случаях, когда соответствующий функционал трудно определить. В тех случаях, когда стационарный функционал существует, метод Галёркина как частный случай общего метода взвешенных невязок (см. разд. 4.2) приводит точно к такому же результату, как и вариационное решение.

Переменная поля, скажем аппроксимируется с помощью интерполяционных функций как и в вариационном методе. В пределах конечного элемента, или в ансамбле конечных элементов, приближенное решение записывается через узловые потенциалы в виде

Задача, как и ранее, состоит в том, чтобы найти такие при которых выражение (6.106) наилучшим образом соответствовало бы дифференциальным уравнениям и краевым условиям задачи.

Метод взвешенных невязок можно применять к задачам, описываемым общим уравнением (6.12). Однако для задачи с двумя потенциалами в том виде, как она сформулирована в настоящем разделе, достаточно рассмотреть уравнение

представляющее либо (6.93), либо (6.102). Оставляя пока в стороне граничные условия на поверхности раздела (6.103) и (6.105), можно было бы скомпоновать граничные условия из условий Неймана

на поверхности где некоторая заданная функция координат, и условия Дирихле

на поверхности где также функция координат. При этом предполагается, что пространство задачи представляет собой объем ограниченный замкнутой поверхностью, включающей в себя Далее для аппроксимирующего выражения (6.106) выбираются произвольные весовые функции и определяются взвешенные невязки

Ясно, что если бы V было точным решением уравнения (6.107), то невязки всегда были бы равны нулю. Но в выражении (6.106) V является приближением, содержащим неопределенных коэффициентов. Если для соотношения (6.110) выбрать линейно независимых весовых функций, то можно получить достаточное число уравнений, чтобы, приравнивая нулю каждую взвешенную невязку, определить весь набор значений. Тогда определяемое формулой (6.106), можно считать наиболее подходящим для конкретного класса выбранных весовых функций.

Выражение (6.110) можно привести к виду, при котором не требуется специально определять вторые производные от Это преобразование выполняется с помощью известного в векторном исчислении тождества

и теоремы Остроградского — Гаусса

где поверхность, ограничивающая объем Поскольку состоит из выражение (6.110) приобретает вид

В большинстве случаев можно принять, что (однородные условия Неймана), а ограничено условием на

Выбор не влечет потери общности и приводит к относительно простому соотношению

Это выражение для приравняем нулю, что приведет к следующим матричным уравнениям для каждого элемента, не содержащего узлов на поверхности раздела между

или

где символы обозначают искомые векторы узловых потенциалов. Отметим, что если некий элемент находится внутри области или и не касается границы раздела между ними, то в качестве поверхности можно выбрать поверхность между двумя смежными элементами. Характеристика материала (в данном случае магнитная проницаемость может изменяться скачком от элемента к элементу, однако при этом нормальная составляющая магнитной индукции должна быть непрерывной. Нормальные векторы к общей поверхности между двумя элементами будут равны по величине и противоположны по направлению для разных элементов. Поэтому при объединении невязок для двух прилегающих элементов второе слагаемое правой части в соотношении (6.114) обращается в нуль. Таким образом, пренебрегая вторым членом в уравнении (6.114), получим, что учет вклада от поверхностей раздела между элементами эквивалентен требованию непрерывности Приняв это к сведению, можно далее заметить, что поверхностный интеграл в уравнении (6.114) учитывается лишь в случае, когда на внешней границе выполняется условие Дирихле. Однако на внешних границах в соответствии с установленными ограничениями должно равняться поэтому нет необходимости вычислять невязку в граничных точках. Следовательно, в практических вычислениях вторым слагаемым в правой части выражения (6.114) можно пренебречь. Ясно, что матрицы связаны между собой так, как это было показано в разд. 1.5 для ансамбля конечных элементов.

Если теперь выбрать в качестве весовых функций интерполяционные функции то мы приходим к процедуре Галёркина. Этот метод эквивалентен вариационному подходу, и, следовательно, для элементов, не соприкасающихся с поверхностью раздела, элементы матрицы определяются

выражением

которое совпадает с (6.40). Отметим, что здесь отсутствуют матрицы входящие в уравнение (6.28). Это обусловлено нулевой правой частью в уравнении (6.93) либо (6.102). Если потребуется ввести в указанные уравнения ненулевую правую часть, то это не составит особого труда. Такая необходимость может возникнуть, если материал в области обладает нелинейными характеристиками или же в области расположены постоянные магниты [3]. Отметим, что отсутствие здесь слагаемых, обусловленных любыми однородными условиями Неймана, соответствует «естественному» условию в вариационном анализе.

Теперь рассмотрим два конечных элемента находящиеся соответственно в областях и и имеющие общие грани на поверхности раздела между Подставив в выражение для соответственно, можно определить невязки

где представляют по существу одну и ту же поверхность, но с противоположно направленными нормалями Поверхность считается частью поверхности типа Поскольку поверхностный интеграл по оставшейся части поверхности находящейся внутри области в любом случае обращается в нуль, он не включается в выражение для Сумму невязок

можно преобразовать, используя условие (6.103) для границы раздела. В результате

Приравнивая нулю правую часть этого выражения, получим матричное уравнение вида

В этом уравнении матрицы для элементов, заключенных внутри данной области, имеют такой же вид, как и в уравнениях (6.115) и (6.116). Вектор получается интегрированием по общей поверхности стыка элементов

Всегда существует некоторая двусмысленность в том, или представляют поле на стыке. Этот вопрос решается исключением или на основе соотношения (6.115) после того, как произвольно выбрана одна точка, в которой считается, что При этом опять можно использовать метод Галеркина, положив Теперь можно связать матрицы этих конечных элементов с матрицами, соответствующими элементам, не имеющим поверхностей на стыке двух областей, как это обычно делается с массивами, полученными на основе стационарных функционалов. Отметим, что если элемент имеет на поверхности хотя бы одну вершину или ребро, то интеграл в (6.123) обращается в нуль, а уравнение (6.105) тем не менее остается в силе. Построив глобальные матрицы получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных узловых потенциалов и Решив систему уравнений, находим неизвестные потенциалы и через них определяем поля, силы и т. п. Таким образом, оказывается возможным решить трехмерные задачи о проводниках с током, создающих магнитные поля в прилегающих нелинейных магнитных материалах.

Изложенная здесь в общих чертах процедура лежит в основе программы TOSCA, описанной в работе Симкина и Троубриджа [3]. Эта программа обеспечивает решение практически важных нелинейных трехмерных задач магнитостатики, которые до сих пор нельзя было решить численными методами. Для более подробного знакомства с этими достаточно сложными расчетами и полученными практическими результатами необходимо обратиться к упомянутой работе Симкина и Троубриджа [3].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление